Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Вычисление пределов функции

Рассмотрим типовые примеры с подробным решением на вычисление пределов функции из контрольных работ, присылаемых студентами к нам.

Пример 1
Вычислить предел функции $\lim_\limits{x\to \infty} \frac{8x^5 - 4x^3 +3}{2x^5+x^3-7}$
Решение

Подставляем $x=\infty$ в предел и получаем неопределенность бесконечность делить на бесконечность.

$$ \lim_\limits{x\to \infty} \frac{8x^5 - 4x^3 +3}{2x^5+x^3-7} = \frac{\infty}{\infty} $$

Это означает, что ответ пока ещё не получен. Им должно стать конечное число. Чтобы его получить нужно избавиться от неопределенности. Для этого вынесем старшую степень икса за скобки в числителе и повторим это для знаменателя.

$$ \lim_\limits{x\to \infty} \frac{8x^5 - 4x^3 +3}{2x^5+x^3-7} = \lim_\limits{x\to \infty} \frac{x^5(8-4\frac{1}{x^2}+3\frac{1}{x^5})}{x^5(2+\frac{1}{x^2}-7\frac{1}{x^5})} = $$

Далее сокращаем $x^5$ в дроби и вспоминаем, что $\lim_\limits{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$ по определению.

$$ = \lim_\limits{x\to \infty} \frac{8-4\frac{1}{x^2}+3\frac{1}{x^5}}{2+\frac{1}{x^2}-7\frac{1}{x^5}} = \lim_\limits{x\to \infty} \frac{8-4\cdot 0 + 3\cdot 0}{2+ 0 - 7\cdot 0} = \frac{8}{2} = 4 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$\lim_\limits{x\to \infty} \frac{8x^5 - 4x^3 +3}{2x^5+x^3-7} = 4 $$
Пример 2
Вычислить предел подробно $\lim_\limits{x\to \infty} \bigg (\frac{3x-4}{3x+2} \bigg )^{2x} $
Решение

Как обычно подставляем точку $x=\infty$ в предел и получаем неопределенность.

$$\lim_\limits{x\to \infty} \bigg (\frac{3x-4}{3x+2} \bigg )^{2x} = \bigg(\frac{\infty}{\infty}\bigg)^{\infty}$$

Её можно раскрывать с помощью формулы второго замечательного предела $\lim_\limits{x\to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e $. Подстроим вид предела из задачи под данную формулу для полного совпадения с ней. А именно вычтем и прибавим в скобках единицу к дроби.

$$ 1 + \frac{3x-4}{3x+2} - 1 = 1 + \frac{3x-4 - 3x - 2}{3x+2} = 1+\frac{-6}{3x+2} = 1+\frac{1}{\frac{3x+2}{-6}}$$

Продолжаем решение выполнив замену в скобках на новое выражение, а показатель степени умножим и разделим на $\frac{3x+2}{-6}$.

$$ \lim_\limits{x\to \infty} \bigg (\frac{3x-4}{3x+2} \bigg )^{2x} = \lim_\limits{x\to \infty} \bigg (1+\frac{1}{\frac{3x+2}{-6}} \bigg )^{\frac{3x+2}{-6} \cdot \frac{-6}{3x+2} \cdot 2x} = $$

Пользуясь формулой второго замечательного предела упрощаем предел.

$$ \lim_\limits{x\to \infty} e^{\frac{-12x}{3x+2}} = e^{\lim_\limits{x\to \infty} {\frac{-12x}{3x+2}}} = $$

В показателе экспоненты при вычислении получается неопределеность бесконечность на бесконечность. Для её устранения применим метод из предыдудего примера, а именно вынесем за скобки в числителе и знаменателе икс, а затем сократим на него.

$$ = e^{\lim_\limits{x\to \infty} {\frac{-12}{3+\frac{2}{x}}}} = e^{\frac{-12}{3+0}} = e^{-4}$$

Ответ
$$\lim_\limits{x\to \infty} \bigg (\frac{3x-4}{3x+2} \bigg )^{2x} = e^{-4} $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 3
Вычислить предел с подробным решением $\lim_\limits{x\to 0} \frac{\sin 7x + \sin 3x}{\sin x}$
Решение

Подставляем точку $x=0$ в предел и получаем ноль делить на ноль. Для раскрытия неопределенности в этом задании воспользуемся тригонометрической формулой суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2} $. Преобразуем по ней предел из условия задания.

$$ \lim_\limits{x\to 0} \frac{\sin 7x + \sin 3x}{\sin x} = \lim_\limits{x\to 0} \frac{2\sin 5x \cdot \cos 2x}{\sin x} = $$

Далее применим формулу первого замечательного предела $\lim_\limits{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $. Продолжим решение выполнив необходимые преобразования под последнюю формулу.

$$ = \lim_\limits{x\to 0} \frac{2\frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5x \cdot \cos 2x}{\frac{\sin x}{x} \cdot x} = $$

Применяем формулу заменяя подходящее выражения с синусом единицами.

$$ = \lim_\limits{x\to 0} \frac{2\cdot 5x \cdot \cos 2x}{x} = \lim_\limits{x\to 0} 10\cos 2x = 10 \cdot \cos 0 = 10 \cdot 1 = 10$$

Ответ
$$\lim_\limits{x\to 0} \frac{\sin 7x + \sin 3x}{\sin x} = 10$$
Пример 4
Вычислить $\lim_\limits{x\to 0} \frac{1-\cos 2x}{x \sin 4x}$
Решение

В пределе при подстановке $x=0$ имеем неопределенность ноль на ноль. Решим данную задачу с помощью таблицы эквивалентности пределов. Из нее берем две формулы $1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$ и $\sin x \sim x $. Применяем их для предела из условия.

$$\lim_\limits{x\to 0} \frac{1-\cos 2x}{x \sin 4x} = \lim_\limits{x\to 0} \frac{\frac{4x^2}{2}}{x \cdot 4x} = \lim_\limits{x\to 0} \frac{2x^2}{4x^2} = \frac{1}{2} $$

Ответ
$$\lim_\limits{x\to 0} \frac{1-\cos 2x}{x \sin 4x} = \frac{1}{2} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ