Пределы со степенями: показательная, степенная и показательно-степенная функции
Пределы со степенями бывают различных видов в зависимости от положения неизвестной $x$ в пределе. Рассмотрим примеры решений для следующих ситуаций:
- Показательная функция
$$\lim\limits_{x\to a} a^{f(x)} = a^{\lim\limits_{x\to a} f(x)} $$ - Степенная функция
$$ \lim\limits_{x\to a} (f(x))^a = \bigg(\lim\limits_{x\to a} f(x) \bigg)^a $$ - Показательно-степенная функция
$$\lim\limits_{x\to a} \bigg(f(x)\bigg)^{g(x)} = \lim\limits_{x\to a} \frac{\ln(f(x))}{\frac{1}{g(x)}} $$
| Пример 1 |
| Найти предел показательной функции $\lim\limits_{x\to 2} 2^{\frac{x^2-4}{x-2}}$ |
| Решение |
|
Подставив точку $x=2$ в предел получим неопределенность $2^{\big(\frac{0}{0}\big)}$. Итак, перенесем знак предела в показатель и попробуем его вычислить путем разложения числителя по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. $$\lim\limits_{x\to 2} 2^{\frac{x^2-4}{x-2}} = 2^{\lim\limits_{x\to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}} = $$ Сокращаем числитель со знаменателем на $x-2$ и вычисляем предел степени. $$ =2^{\lim\limits_{x\to 2} (x+2)} = 2^{2+2} = 2^4 = 16 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$\lim\limits_{x\to 2} 2^{\frac{x^2-4}{x-2}} = 16$$ |
| Пример 2 |
| Решить предел степенной функции $\lim\limits_{x\to 0} \bigg(\frac{\sin x^2}{1-\cos x}\bigg)^3$ |
| Решение |
|
Внесем знак предела внутрь скобок, а степень останется при этом снаружи. $$\lim\limits_{x\to 0} \bigg(\frac{\sin x^2}{1-\cos x}\bigg)^3 = \bigg(\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x^2}{1-\cos x}\bigg)^3 = $$ При подстановке точки $x=0$ в предел получаем неопределенность $\frac{0}{0}$. Для её устранения воспользуемся таблицей эквивалентностей пределов. $$\sin x^2 \sim x^2$$ $$ 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$$ Подставляем эквивалентные функции в предел и сокращаем $x$. $$ = \bigg(\lim\limits_{x\to 0} \frac{x^2}{\frac{x^2}{2}}\bigg)^3 = \bigg(\lim\limits_{x\to 0} \frac{2x^2}{x^2} \bigg)^3 = 2^3 = 8$$ |
| Ответ |
| $$\lim\limits_{x\to 0} \bigg(\frac{\sin x^2}{1-\cos x}\bigg)^3 = 8$$ |
| Пример 3 |
| Вычислить предел показательно-степенной функции $\lim\limits_{x\to 0} (tg x)^{\sin x} $ |
| Решение |
|
Если подставим $x=0$, то получим предел ноль в степени ноль $(0^0)$. Превратим это в другую неопределенность $(\frac{\infty}{\infty})$ с помощью третьей формулы. $$\lim\limits_{x\to 0} (tg x)^{\sin x} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln (tg \;x)}{\frac{1}{\sin x}} = \frac{\infty}{\infty} = $$ Используем правило Лопиталя для продолжения решения. По нему, как известно, предел отношения функций равен пределу отношения производных от этих функций. $$ = \lim\limits_{x\to 0} \frac{(\ln (tg \;x))'}{(\frac{1}{\sin x})'} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{\frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{tg \;x}}{-\frac{\cos x}{\sin^2 x}} = $$ Преобразуем числитель в нормальный вид с помощью формулы $tg \; x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и выполняем все необходимые сокращения. $$ = \lim\limits_{x\to 0} \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{-\frac{\cos x}{\sin^2 x}} = -\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{\cos^2 x} = $$ Теперь подставляя точку $x=0$ возможно получить окончательный ответ. $$ = - \frac{\sin 0}{\cos^2 x} = -\frac{0}{1} = 0 $$ |
| Ответ |
| $$\lim\limits_{x\to 0} (tg x)^{\sin x} = 0$$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ