Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Пределы со степенями: показательная, степенная и показательно-степенная функции

Пределы со степенями бывают различных видов в зависимости от положения неизвестной $x$ в пределе. Рассмотрим примеры решений для следующих ситуаций:

  1. Показательная функция
    $$\lim_\limits{x\to a} a^{f(x)} = a^{\lim_\limits{x\to a} f(x)} $$
  2. Степенная функция
    $$ \lim_\limits{x\to a} (f(x))^a = \bigg(\lim_\limits{x\to a} f(x) \bigg)^a $$
  3. Показательно-степенная функция
    $$\lim_\limits{x\to a} \bigg(f(x)\bigg)^{g(x)} = \lim_\limits{x\to a} \frac{\ln(f(x))}{\frac{1}{g(x)}} $$
Пример 1
Найти предел показательной функции $\lim_\limits{x\to 2} 2^{\frac{x^2-4}{x-2}}$
Решение

Подставив точку $x=2$ в предел получим неопределеность $2^{\big(\frac{0}{0}\big)}$. Итак, перенесем знак предела в показатель и попробуем его вычислить путем разложения числителя по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

$$\lim_\limits{x\to 2} 2^{\frac{x^2-4}{x-2}} = 2^{\lim_\limits{x\to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}} = $$

Сокращаем числитель со знаменателем на $x-2$ и вычисляем предел степени.

$$ =  2^{\lim_\limits{x\to 2} (x+2)} = 2^{2+2} = 2^4 = 16 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$\lim_\limits{x\to 2} 2^{\frac{x^2-4}{x-2}} = 16$$
Пример 2
Решить предел степенной функции $\lim_\limits{x\to 0} \bigg(\frac{\sin x^2}{1-\cos x}\bigg)^3$
Решение

Внесем знак предела внутрь скобок, а степень останется при этом снаружи.

$$\lim_\limits{x\to 0} \bigg(\frac{\sin x^2}{1-\cos x}\bigg)^3 = \bigg(\lim_\limits{x\to 0} \frac{\sin x^2}{1-\cos x}\bigg)^3 = $$

При подстановке точки $x=0$ в предел получаем неопределенность $\frac{0}{0}$. Для её устранения воспользуемся таблицей эквивалентностей пределов.

$$\sin x^2 \sim x^2$$ $$ 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$$

Подставляем эквивалентные функции в предел и сокращаем $x$.

$$ = \bigg(\lim_\limits{x\to 0} \frac{x^2}{\frac{x^2}{2}}\bigg)^3 = \bigg(\lim_\limits{x\to 0} \frac{2x^2}{x^2} \bigg)^3 = 2^3 = 8$$

Ответ
$$\lim_\limits{x\to 0} \bigg(\frac{\sin x^2}{1-\cos x}\bigg)^3 = 8$$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 3
Вычислить предел показательно-степенной функции $\lim_\limits{x\to 0} (tg x)^{\sin x} $
Решение

Если подставим $x=0$, то получим предел ноль в степени ноль $(0^0)$. Превратим это в другую неопределенность $(\frac{\infty}{\infty})$ с помощью третьей формулы.

$$ \lim_\limits{x\to 0} (tg x)^{\sin x} = \lim_\limits{x\to 0} \frac{\ln (tg \;x)}{\frac{1}{\sin x}} = \frac{\infty}{\infty} = $$

Используем правило Лопиталя для продолжения решения. По нему, как известно, предел отношения функций равен пределу отношения производных от этих функций.

$$ = \lim_\limits{x\to 0} \frac{(\ln (tg \;x))'}{(\frac{1}{\sin x})'} = \lim_\limits{x\to 0} \frac{\frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{tg \;x}}{-\frac{\cos x}{\sin^2 x}} = $$

Преобразуем числитель в нормальный вид с помощью формулы $tg \; x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и выполняем все необходимые сокращения.

$$ = \lim_\limits{x\to 0} \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{-\frac{\cos x}{\sin^2 x}} = -\lim_\limits{x\to 0} \frac{\sin x}{\cos^2 x} = $$

Теперь подставляя точку $x=0$ возможно получить окончательный ответ.

$$ = - \frac{\sin 0}{\cos^2 x} = -\frac{0}{1} = 0 $$

Ответ
$$\lim_\limits{x\to 0} (tg x)^{\sin x} = 0$$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ