Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Пределы с тригонометрическими функциями

Существует множество различных пределов тригонометрических функций. На помощь могут прийти основные методы вычисления:

  1. Первый замечательный предел и его следствие с тангенсом $$\lim_\limits{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_\limits{x\to 0} \frac{tg x}{x} = 1 $$
  2. Тригонометрические преобразования и формулы
  3. Таблица бесконечно малых эквивалентных функций
  4. Правило Лопиталя

Рассмотрим примеры подробного решения тригонометрических пределов для разбора каждого способа. Стоит отметить, что все методы можно комбинировать в одной задаче между собой для ускорения процесса вычисления.

Пример 1
Решить предел с тригонометрическими функциями с помощью первого замечательного предела $\lim_\limits{x\to 0} \frac{tg 2x}{\sin3x}$ 
Решение

Подставляя $x=0$ в предел получаем неопределенность $(\frac{0}{0})$. Сделаем преобразования в числителе и знаменателе таким образом, чтобы появился замечательный предел.

$$ tg 2x = \frac{tg 2x}{2x} \cdot 2x $$ $$ \sin 3x = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x $$

Подставляем получившиеся преобразования, чтобы применить формулу первого замечательного предела.

$$ \lim_\limits{x\to 0} \frac{\frac{tg 2x}{2x} \cdot 2x}{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x} = \lim_\limits{x\to 0} \frac{1 \cdot 2x}{1 \cdot 3x} = $$

Теперь остается только сократить $x$ и записать ответ.

$$ = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$\lim_\limits{x\to 0} \frac{tg 2x}{\sin3x} = \frac{2}{3}$$
Пример 2
Вычислить предел с помощью тригонометрического преобразования $\lim_\limits{x\to 0} \frac{\sqrt{4+x}-2}{1-\cos 3x}$
Решение

Обратим внимание на корень в числителе. От него нужно избавиться путём умножения и деления на сопряженное к нему число (отличающееся знаком между слагаемыми).

$$\lim_\limits{x\to 0} \frac{(\sqrt{4+x}-2)(\sqrt{4+x}+2)}{(1-\cos 3x)(\sqrt{4+x}+2)} = $$

Теперь с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$ упростим числитель.

$$ = \lim_\limits{x\to 0} \frac{4+x-4}{(1-\cos 3x)(\sqrt{4+x}+2)} = \lim_\limits{x\to 0} \frac{x}{(1-\cos 3x)(\sqrt{4+x}+2)} $$

В этой задаче не обойтись без тригонометрической формулы $1-\cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$. Выполним по ней преобразование выражение в знаменателе.

$$1-\cos 3x = 2\sin^2 \frac{3x}{2}$$

$$ = \lim_\limits{x\to 0} \frac{x}{2\sin^2 \frac{3x}{2} (\sqrt{4+x}+2)} = $$

Видим, что в знаменателе появился синус, а это значит, что можно избавиться от него с помощью первого замечательного предела. Как в предыдущем примере одновременно умножаем и делим на аргумент синуса.

$$ \sin^2 \frac{3x}{2} = (\sin \frac{3x}{2})^2 = (\frac{\sin \frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}} \cdot \frac{3x}{2})^2 $$

Подставляем преобразование синуса, чтобы применить замечательный предел.

$$ = \lim_\limits{x\to 0} \frac{x}{2(\frac{\sin \frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}} \cdot \frac{3x}{2})^2 (\sqrt{4+x}+2)} = \lim_\limits{x\to 0} \frac{x}{\frac{9x^2}{2} (\sqrt{4+x}+2)} = $$

Выносим константу перед пределом и сокращаем $x$ в числителе и знаменателе.

$$ = \frac{2}{9} \lim_\limits{x\to 0} \frac{1}{x(\sqrt{4+x}+2)} = \frac{2}{9} \cdot (\frac{1}{0}) = \infty $$

Ответ
$$\lim_\limits{x\to 0} \frac{\sqrt{4+x}-2}{1-\cos 3x} = \infty$$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 3
Найти предел с помощью логарифмирования $\lim_\limits{x\to 0} (tg x)^{\sin x} $
Решение

Подставляя $x=0$ получаем неопределенность (0^0). Под пределом показательно-степенная функция, поэтому нужно воспользоваться логарифмированием и свести к неопределенности $(\frac{\infty}{\infty})$, чтобы затем воспользоваться правилом Лопиталя.

$$\lim_\limits{x\to 0} e^{\sin x \ln(tg x)} = \lim_\limits{x\to 0} e^{\frac{\ln(tg x)}{\frac{1}{\sin x}}} = e^\frac{\infty}{\infty} = $$

Берем производные числителя и знаменателя дроби, стоящей в показателе экспоненты.

$$ \bigg(\frac{\ln(tg x)}{\frac{1}{\sin x}}\bigg)' = \frac{\frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{tg x}}{-\frac{\cos x}{\sin^2 x}} = \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{-\frac{\cos x}{\sin^2 x}} = -\frac{\sin x}{\cos^2 x}$$

Подставляем полученное выражение под знак предела и пременяем свойство предела для показательной функции.

$$ = \lim_\limits{x\to 0} e^{ -\frac{\sin x}{\cos^2 x}} = e^{-\lim_\limits{x\to 0} \frac{\sin x}{\cos^2 x} } = $$

Теперь, подставляя $x=0$ в предел, вычисляем окончательный ответ.

$$ = e^{-\frac{0}{1}} = e^0 = 1 $$

Ответ
$$\lim_\limits{x\to 0} (tg x)^{\sin x} = 1$$
Пример 4
Взять предел путем замены на бесконечно малые эквивалентные функции $\lim_\limits{x\to 0} \frac{x\arcsin 3x}{1-\cos 2x}$
Решение

Итак, в пределе неопределенность ноль делить на ноль. Выполним замены на эквивалентные функции.

$$ \arcsin 3x \sim 3x $$ $$1-\cos 2x \sim 2x^2 $$

Подставляем в предел и получаем готовый ответ.

$$\lim_\limits{x\to 0} \frac{x\arcsin 3x}{1-\cos 2x} = \lim_\limits{x\to 0} \frac{x\cdot 3x}{2x^2} = \lim_\limits{x\to 0} \frac{3x^2}{2x^2} = \frac{3}{2} $$

Ответ
$$\lim_\limits{x\to 0} \frac{x\arcsin 3x}{1-\cos 2x} = \frac{3}{2}$$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ