Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Предел функции в точке

Для нахождения предела функции в точке первым делом нужно подставить точку $x$, стоящую под знаком предела в функцию. Должны получить либо число, либо неопределенность. Если получаем число, то оно становится ответом к заданию, в случае неопределенности необходимо применить основные методы и преобразования. Приведем примеры решения типовых задач.

Пример 1
Найти предел функции в точке $\lim_\limits{x\to 2} \frac{x^2-3x+2}{2x^2-2x-1} $
Решение

Подставляем точку $x=2$ в функцию под пределом.

$$ \lim_\limits{x\to 2} \frac{x^2-3x+2}{2x^2-2x-1} = \frac{2^2-3\cdot 2 +2}{2\cdot 2^2 - 2\cdot 2 - 1} = \frac{4-6+2}{8-4-1} = \frac{0}{3} = 0 $$

Итак, при вычислении получили число ноль. Значит, на этом можно закончить решение и записать ответ.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \lim_\limits{x\to 2} \frac{x^2-3x+2}{2x^2-2x-1} $$
Пример 2
Вычислить предел функции в точке  $\lim_\limits{x\to 1} \frac{x^2-3x+2}{2x^2-2x-1} $
Решение

Подставляя точку $x=1$ в предел получаем неопределенность ноль делить на ноль.

$$ \lim_\limits{x\to 1} \frac{x^2-3x+2}{2x^2-2x-1} = (\frac{0}{0}) = $$

Необходимо избавиться от неопределенности для получения окончательного ответа. Видим, что в числителе и знаменателе находятся квадратные многочлены. Разложим их на множители.

$$ x^2 - 3x +2 = (x-1)(x-2) $$ $$ 2x^2-2x-1 = (x-1)(2x+1) $$

Подставляем раложение в предел и видим, что множитель $(x-1)$ можно сократить.

$$ = \lim_\limits{x\to 1} \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(2x+1)} = \lim_\limits{x\to 1} \frac{x-2}{2x+1} = $$

Подставляем $x=1$ еще раз в предел и получаем ответ.

$$ = \frac{1-2}{2\cdot 1+1} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3} $$

Ответ
$$\lim_\limits{x\to 1} \frac{x^2-3x+2}{2x^2-2x-1} = -\frac{1}{3} $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 3
Решить предел $\lim_\limits{x\to 1} \frac{\sqrt{2x-1}-1}{x-1} $
Решение

Как обычно начинаем с подстановки $x=1$ в подпредельную функцию.

$$ \lim_\limits{x\to 1} \frac{\sqrt{2x-1}-1}{x-1} = \frac{0}{0} $$

Чтобы избавиться от неопределенности ноль делить на ноль в этой типовой задаче нужно умножить и разделить на сопряженное число к числителю.

$$ \lim_\limits{x\to 1} \frac{(\sqrt{2x-1}-1)(\sqrt{2x-1}+1)}{(x-1)(\sqrt{2x-1}+1)} = $$

Благодаря формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ избавляемся от иррациональности числителя.

$$ = \lim_\limits{x\to 1} \frac{2x-2}{(x-1)(\sqrt{2x-1}+1} = \lim_\limits{x\to 1} \frac{2(x-1)}{(x-1)(\sqrt{2x-1}+1)} = $$

Выносим двойку перед знаком предела, а так же сокращаем дробь на $x-1$.

$$ = 2\lim_\limits{x\to 1} \frac{1}{\sqrt{2x-1}+1} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\cdot 1-1}+1} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $$

Вот таким вот образом избавились от неопределенности $(\frac{0}{0})$, убрав иррациональность в пределе.

Ответ
$$\lim_\limits{x\to 1} \frac{\sqrt{2x-1}-1}{x-1} = 1$$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ