Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Как решать пределы для чайников?

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что "скучная теория" должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

Пример 1
Вычислить а) $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} $; б)$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} $
Решение

а) $$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $$

б)$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$

Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \text{a)} \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty \text{ б)}\lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
$$ \lim \limits_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} $$
Решение

Внимание "чайникам" :) Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:

$$ \lim \limits_{x \to 1} \frac{x^2+2 \cdot x+1}{x+1}=\frac{1^2+2 \cdot 1+1}{1+1} = $$

$$ = \frac{4}{2}=2 $$

Как видим в итоге у нас вычислился предел, результатом стала двойка. Хорошо, когда так получается, но бывает так, что результатом становятся неопределенности. Попробуем разобраться с ними - это не так страшно как кажется :)

Ответ
$$ \lim \limits_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} = 2 $$

Что делать с неопределенностью вида: $ \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $

Пример 3
Решить $ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} $
Решение

Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела. 

$$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(-1)^2-1}{-1+1}=\frac{0}{0} $$

Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её :)

Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $

Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование:

$$ \lim \limits_{x \to -1}\frac{x^2-1}{x+1} = \lim \limits_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = $$

$$ = \lim \limits_{x \to -1}(x-1)=-1-1=-2 $$

Ответ
$$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = -2 $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 4
$$ \lim \limits_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$
Решение

$$ \lim \limits_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = \frac{0}{0} = $$

$$ = \lim \limits_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2} = $$

$$ = \lim \limits_{x \to 2}\frac{x+2}{x-2} = \frac{2+2}{2-2} = \frac{4}{0} = \infty $$

Бесконечность получилась в результате - это следует из примера 1. Когда число делится на 0 под знаком предела, то получается бесконечность.

Ответ
$$ \lim \limits_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = \infty $$

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] $

Пример 5
Вычислить $ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} $
Решение

$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{\infty}{\infty} $

Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное - возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем...

$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} =\lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2(1-\frac{1}{x^2})}{x(1+\frac{1}{x})} = $$

$$ = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x(1-\frac{1}{x^2})}{(1+\frac{1}{x})} = $$

Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем:

$$ = \frac{\infty(1-\frac{1}{\infty})}{(1+\frac{1}{\infty})} = \frac{\infty \cdot 1}{1+0} = \frac{\infty}{1} = \infty $$

Ответ
$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} = \infty $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 6
$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$
Решение

$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = \frac{\infty}{\infty} $$

Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем...

$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = \frac{\infty}{\infty} = $$

$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x^2(1-\frac{4}{x^2})}{x^2(1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2})} = $$

$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{1-\frac{4}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}} = \frac{1}{1} = 1 $$

Ответ
$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = 1 $$

Алгоритм вычисления лимитов

Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:
  1. Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: "ноль делить на ноль" или "бесконечность делить на бесконечность" и переходим к следующим пунктам инструкции.
  2. Чтобы устранить неопределенность "ноль делить на ноль" нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
  3. Если неопределенность "бесконечность делить на бесконечность", тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ