Второй замечательный предел: примеры решения

Данная статья: «Второй замечательный предел: примеры решения» посвящена раскрытию в пределах неопределенностей вида:

и .

Так же такие неопределенности можно раскрывать с помощью логарифмирования показательно-степенной функции, но это уже другой метод решения, о котором будет освещено в другой статье.

Формула второго замечательного предела и его следствия

Формула второго замечательного предела записывается следующим образом:

Из формулы вытекают следствия, которые очень удобно применять для решения примеров с пределами:   

Стоить заметить, что второй замечательный предел можно применять не всегда к показательно-степенной функции, а только в случаях когда основание стремится к единице. Для этого сначала в уме вычисляют предел основания, а затем уже делают выводы. Всё это будет рассмотрено в примерах решений.

Примеры решений второго замечательного предела

Рассмотрим примеры решений с использованием прямой формулы и её следствий. Так же разберем случаи, при которых формула не нужна. Достаточно записать только готовый ответ.

Пример 1
Найти предел
Решение

Подставим бесконечность в предел и посмотрим на неопределенность: 

Найдем предел основания:

Получили основание равное единице, а это значит уже можно применить второй замечательный предел. Для этого подгоним основание функции под формулу путем вычитания и прибавления единицы:

Смотрим на второе следствие и записываем ответ:

Ответ
Контрольные работы от 120 руб, от 4 часов
подробное написание
Решение задач от 20 руб/шт, от 2 часов
подробное написание
Пример 2
Определить предел
Решение

Замечаем, что основание степени стремится к единице , при , а показатель . Поэтому можно применить второе следствие. Но сперва, разберемся с показателем и приведем его в нужный вид - сделаем равным знаменателю основания. Для этого умножим его на и разделим на него же. Получаем:

Уже теперь применяем формулу и получаем:

Ответ
Пример 3
Вычислить предел
Решение

Получаем неопределенность . Для её раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом. Но у нас . Как быть? Выполняем замену , тогда , при . Из замены следует, что .

Ответ
Контрольные работы от 120 руб, от 4 часов
подробное написание
Решение задач от 20 руб/шт, от 2 часов
подробное написание
Пример 4
Решить предел
Решение

Находим предел основания и видим, что , значит можно применить второй замечательный предел. Стандартно по плану прибавляем и вычитаем единицу из основания степени:

Подгоняем дробь под формулу 2-го замеч. предела:

Теперь подгоняем степень. В степени должна быть дробь равная знаменателю основания . Для этого умножим и разделим степень на неё, и продолжим решать:

Предел, расположенный в степени при равен: . Поэтому продолжая решение имеем:

Ответ

Разберем случаи, когда задача похожа на второй замечательный предел, но решается без него.

Пример 5
Найти
Решение

Начинаем с проверки равен ли предел основания единице. Имеем:

А это значит, что формулировка второго замечательного предела не соответствует данной задаче, так как

Продолжаем вычисление предела:

Ответ
Контрольные работы от 120 руб, от 4 часов
подробное написание
Решение задач от 20 руб/шт, от 2 часов
подробное написание
Пример 6
Найти
Решение

Начинаем с проверки равен ли предел основания единице. Имеем:

А это значит, что формулировка второго замечательного предела не соответствует данной задаче, так как

Продолжаем вычисление предела:

Ответ

В статье: «Второй замечательный предел: примеры решений» была разобрана формула, её следствия и приведены частые типы задач по этой теме.

Не получается решить свою задачу?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ