Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Второй замечательный предел

Данная статья: «Второй замечательный предел» посвящена раскрытию в пределах неопределенностей вида:

$ \bigg[\frac{\infty}{\infty}\bigg]^\infty $ и $ [1]^\infty $.

Так же такие неопределенности можно раскрывать с помощью логарифмирования показательно-степенной функции, но это уже другой метод решения, о котором будет освещено в другой статье.

Формула и следствия

Формула второго замечательного предела записывается следующим образом: $$ \lim_{x \to \infty} \bigg (1+\frac{1}{x}\bigg)^x = e, \text{ где } e \approx 2.718 $$

Из формулы вытекают следствия, которые очень удобно применять для решения примеров с пределами: $$ \lim_{x \to \infty} \bigg (1 + \frac{k}{x} \bigg)^x = e^k, \text{ где } k \in \mathbb{R} $$ $$ \lim_{x \to \infty} \bigg (1 + \frac{1}{f(x)} \bigg)^{f(x)} = e $$ $$ \lim_{x \to 0} \bigg (1 + x \bigg)^\frac{1}{x} = e $$

Стоить заметить, что второй замечательный предел можно применять не всегда к показательно-степенной функции, а только в случаях когда основание стремится к единице. Для этого сначала в уме вычисляют предел основания, а затем уже делают выводы. Всё это будет рассмотрено в примерах решений.

Примеры решений

Рассмотрим примеры решений с использованием прямой формулы и её следствий. Так же разберем случаи, при которых формула не нужна. Достаточно записать только готовый ответ.

Пример 1
Найти предел $ \lim_{x\to\infty} \bigg( \frac{x+4}{x+3} \bigg)^{x+3} $
Решение

Подставим бесконечность в предел и посмотрим на неопределенность: $$ \lim_{x\to\infty} \bigg( \frac{x+4}{x+3} \bigg)^{x+3} = \bigg(\frac{\infty}{\infty}\bigg)^\infty $$

Найдем предел основания: $$ \lim_{x\to\infty} \frac{x+4}{x+3}= \lim_{x\to\infty} \frac{x(1+\frac{4}{x})}{x(1+\frac{3}{x})} = 1 $$

Получили основание равное единице, а это значит уже можно применить второй замечательный предел. Для этого подгоним основание функции под формулу путем вычитания и прибавления единицы:

$$ \lim_{x\to\infty} \bigg( 1 + \frac{x+4}{x+3} - 1 \bigg)^{x+3} = \lim_{x\to\infty} \bigg( 1 + \frac{1}{x+3} \bigg)^{x+3} = $$

Смотрим на второе следствие и записываем ответ:

$$ \lim_{x\to\infty} \bigg( 1 + \frac{1}{x+3} \bigg)^{x+3} = e $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \lim_{x\to\infty} \bigg( 1 + \frac{1}{x+3} \bigg)^{x+3} = e $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Определить предел $ \lim_{x\to\infty} \bigg (1+\frac{1}{x^3}\bigg)^{x^2} $
Решение

Замечаем, что основание степени стремится к единице $ 1+\frac{1}{x^3} \to 1 $, при $ x\to\infty $, а показатель $ x^2 \to \infty $. Поэтому можно применить второе следствие. Но сперва, разберемся с показателем и приведем его в нужный вид - сделаем равным знаменателю основания. Для этого умножим его на $ x $ и разделим на него же. Получаем:

$$ \lim_{x\to\infty} \bigg (1+\frac{1}{x^3}\bigg)^{x^2 \cdot \frac{x}{x}} = \lim_{x\to\infty} \bigg (1+\frac{1}{x^3}\bigg)^{\frac{x^3}{x}} = $$

Уже теперь применяем формулу и получаем:

$$ \lim_{x\to\infty}e^ \frac{1}{x} = e^{\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}} = e^0 = 1 $$

Ответ
$$ \lim_{x\to\infty} \bigg (1+\frac{1}{x^3}\bigg)^{x^2} = 1 $$
Пример 3
Вычислить предел $ \lim_{x\to 1} (6-5x)^\frac{x}{x-1} $
Решение

Получаем неопределенность $ 1^\infty $. Для её раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом. Но у нас $ x\to 1 $. Как быть? Выполняем замену $ y = x-1 $, тогда $ y\to 0 $, при $ x \to 1 $. Из замены следует, что $ x = y + 1 $.

$$ \lim_{x\to 1} (6-5x)^\frac{x}{x-1} = \lim_{y\to 0} (6-5(y+1))^\frac{y+1}{y} = 1^\infty = $$

$$ = \lim_{y\to 0} (1-5y)^\frac{y+1}{y} = \lim_{y\to 0} (1+(-5y))^\frac{(y+1)\cdot (-5)}{-5\cdot y} = $$

$$ = \lim_{y\to 0} e^{-5\cdot (y+1)} = e^{-5} $$

Ответ
$$ \lim_{x\to 1} (6-5x)^\frac{x}{x-1} = e^{-5} $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 4
Решить предел $ \lim_{x\to \infty} \bigg (\frac{3x^2+4}{3x^2-2} \bigg) ^{3x} $
Решение

Находим предел основания и видим, что $ \lim_{x\to\infty} \frac{3x^2+4}{3x^2-2} = 1 $, значит можно применить второй замечательный предел. Стандартно по плану прибавляем и вычитаем единицу из основания степени:

$$ \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{3x^2+4}{3x^2-2}-1 \bigg) ^{3x} = \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{6}{3x^2-2} \bigg) ^{3x} = $$

Подгоняем дробь под формулу 2-го замеч. предела:

$$ = \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{1}{\frac{3x^2-2}{6}} \bigg) ^{3x} = $$

Теперь подгоняем степень. В степени должна быть дробь равная знаменателю основания $ \frac{3x^2-2}{6} $. Для этого умножим и разделим степень на неё, и продолжим решать:

$$ = \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{1}{\frac{3x^2-2}{6}} \bigg) ^{\frac{3x^2-2}{6} \cdot \frac{6}{3x^2-2}\cdot 3x} = \lim_{x\to \infty} e^{\frac{18x}{3x^2-2}} = $$

Предел, расположенный в степени при $ e $ равен: $ \lim_{x\to \infty} \frac{18x}{3x^2-2} = 0 $. Поэтому продолжая решение имеем:

$$ = e^0 = 1 $$

Ответ
$$ \lim_{x\to \infty} \bigg (\frac{3x^2+4}{3x^2-2} \bigg) ^{3x} = 1 $$

Разберем случаи, когда задача похожа на второй замечательный предел, но решается без него.

Пример 5
Найти $ \lim_{x\to\infty} \bigg ( \frac{x+3}{3x+4} \bigg )^{x+1} $
Решение

Начинаем с проверки равен ли предел основания единице. Имеем:

$$ \lim_{x\to\infty} \frac{x+3}{3x+4} = \frac{1}{3} $$

А это значит, что формулировка второго замечательного предела не соответствует данной задаче, так как $ \frac{1}{3}\ne 1 $

Продолжаем вычисление предела:

$$ \lim_{x\to\infty} \bigg ( \frac{x+3}{3x+4} \bigg )^{x+1} = \bigg (\frac{1}{3} \bigg ) ^\infty = 0 $$

Ответ
$$ \lim_{x\to\infty} \bigg ( \frac{x+3}{3x+4} \bigg )^{x+1} = 0 $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 6
Найти $ \lim_{x\to\infty} \bigg ( \frac{3x+4}{x+3} \bigg )^{x-5} $
Решение

Начинаем с проверки равен ли предел основания единице. Имеем:

$$ \lim_{x\to\infty} \frac{3x+4}{x+3} = 3 $$

А это значит, что формулировка второго замечательного предела не соответствует данной задаче, так как $ 3 \ne 1 $

Продолжаем вычисление предела:

$$ \lim_{x\to\infty} \bigg ( \frac{3x+4}{x+3} \bigg )^{x-5} = 3^\infty = \infty $$

Ответ
$$ \lim_{x\to\infty} \bigg ( \frac{3x+4}{x+3} \bigg )^{x-5} =\infty $$

В статье: «Второй замечательный предел: примеры решений» была разобрана формула, её следствия и приведены частые типы задач по этой теме.

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ