Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Пределы с логарифмами: примеры решений

Часто в контрольных работах нужно вычислить пределы с логарифмами. Такие задачи можно решить двумя способами:

  1. С помощью следствия второго замечательного предела: $$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+f(x))}{f(x)} = 1 \text{, если } f(x) \to 0 $$
  2. С помощью свойства бесконечно малой эквивалентной функции: $$ \ln(1+f(x)) \sim f(x) \text{, если } f(x) \to 0 $$

Оба метода решения допустимы к сдаче преподавателю на проверку. Выберите для себя самый удобный, который будете легко понимать

Пример 1
Вычислить предел с логарифмом: $ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+8x)}{2x} $
Решение

Метод 1: Воспользуемся следствием замечательного предела и приведем предел к виду похожему на него: $$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+8x)}{2x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{\ln(1+8x)}{8x}\cdot \small 8x}{2x} = $$

Замечаем, что $ \lim \limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+8x)}{8x} = 1 \text{, так как } 8x \to 0 $

Продолжаем решение с учетом замечания:

$$ = \lim \limits_{x \to 0} \frac{8x}{2x} = \frac{8}{2} = 4 $$

Метод 2: Используем свойство б.м.э. функции для преобразования натурального логарифма:

$$  \ln(1+8x) \sim 8x \text{, при } 8x \to 0  $$

Решаем с учетом вышеприведенной эквивалентности:

$$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+8x)}{2x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{8x}{2x} =\frac{8}{2} = 4 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+8x)}{2x} = 4 $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Найти предел $ \lim\limits_{x \to 2} \frac{\ln(x^2-7x+11)}{x-2} $
Решение

Метод 1: Выполняем преобразование под следствие замечательного предела:

$$ \lim\limits_{x \to 2} \frac{\ln(x^2-7x+11)}{x-2} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{\frac{\ln(1 + x^2-7x+10)}{x^2-7x+10}\cdot \small (x^2-7x+10)}{x-2} = $$

Видно, что $ \lim\limits_{x \to 2} \frac{\ln(1 + x^2-7x+10)}{x^2-7x+10} = 1 $ по след. замеч. предела. С учетом этого, продолжим вычислять интеграл:

$$ = \lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-7x+10}{x-2} = $$

Логарифм пропал. Решим квадратное уравнение в числителе и распишем его на множители:

$$ = \lim\limits_{x \to 2} \frac{(x-2)(x-5)}{x-2} = \lim\limits_{x \to 2} (x-5) = 2-5=-3 $$

Метод 2: Решение начнем с преобразования предела:

$$ \lim\limits_{x \to 2} \frac{\ln(x^2-7x+11)}{x-2} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{\ln(1 + (x^2-7x+10))}{x-2} = $$

Так как $ x^2-7x+10 = 0 \text{при} x = 2 $ , то имеем:

$$ \ln(1 + (x^2-7x+10)) \sim x^2-7x+10 $$

С учетом эквивалентности продолжаем решать:

$$ = \lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-7x+10}{x-2} = $$

Выполним разложение многочлена второй степени на множители:

$$ =  \lim\limits_{x \to 2} \frac{(x-2)(x-5)}{x-2} = $$

Далее, выполняем сокращение на $ x-2 $:

$$ \lim\limits_{x \to 2} \frac{(x-2)(x-5)}{x-2} = \lim\limits_{x \to 2} (x-5) = 2-5 = -3 $$

Ответ
$$ \lim\limits_{x \to 2} \frac{\ln(x^2-7x+11)}{x-2} = -3 $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ