Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Пределы с факториалами

Факториал числа $n!$ равен произведению чисел от 1 до $n$. Например, $5! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5$. Для решения примеров на пределы с факториалами понадобится знать и понимать формулу разложения на множители. $$ (n+1)! = n!(n+1) \qquad (1) $$

Например, $5! = 4! \cdot 5 $, или $5! = 3! \cdot 4 \cdot 5$, а можно еще так $5! = 2! \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 $.

Основная суть идеи:

  1. Выносим наименьший факториал числа за скобки в числителе и знаменателе
  2. Сокращаем факториалы, избавляя тем самым предел от них
  3. Вычисляем предел подходящим способом
Пример 1
Вычислить предел с факториалами $\lim_\limits{x\to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} $
Решение

Подставляя $x=\infty$ в предел получаем неопределенность бесконечность делить на бесконечность. Избавимся от факториалов. Для этого используем формулу (1) для их разложения на множители.

$ (n+1)! = n! (n+1) $

Подставляем в предел полученное выражение и сокращаем на $n!$ числитель со знаменателем.

$$ \lim_\limits{x\to \infty} \frac{n!}{n! (n+1)} = \lim_\limits{n\to \infty} \frac{1}{n+1} $$

Теперь подставляя бесконечность в предел вычисляем ответ.

$$ \lim_\limits{n\to \infty} \frac{1}{n+1} = (\frac{1}{\infty}) = 0 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$\lim_\limits{x\to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = 0 $$
Пример 2
Решить предел с факториалом $ \lim_\limits{x\to \infty} \frac{(2n+1)! + (2n+2)!}{(2n+3)!} $
Решение

Определяем наименьший факториал $(2n+1)!$. Его нужно вынести за скобки. Но перед этим нужно разложить остальные факториалы на множители, одним из которых будет $(2n+1)!$. Для этого воспользуемся формулой (1).

$$(2n+2)! = (2n+1)! \cdot (2n+2) $$ $$ (2n+3)! = (2n+1)! \cdot (2n+2)\cdot(2n+3) $$

Выполняем замену в пределе на полученные выражения.

$$\lim_\limits{x\to \infty} \frac{(2n+1)! + (2n+1)! (2n+2)}{(2n+1)! (2n+2)(2n+3)} = $$

Выносим общий множитель с факториалом в числителе за скобки и выполняем сокращение со знаменателем.

$$ \lim_\limits{x \to \infty} \frac{(2n+1)! (1+ (2n+2))}{(2n+1)!(2n+2)(2n+3)} = \lim_\limits{x\to \infty} \frac{1+ (2n + 2)}{(2n+2)(2n+3)} = $$

Раскрываем полученные скобки и сокращаем на $2n+3$.

$$ = \lim_\limits{x \to \infty} \frac{2n+3}{(2n+2)(2n+3)} = \lim_\limits{x\to \infty} \frac{1}{2n+2} = (\frac{1}{\infty}) = 0$$

Ответ
$$ \lim_\limits{x\to \infty} \frac{(2n+1)! + (2n+2)!}{(2n+3)!} = 0 $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 3
Найти предел $\lim_\limits{x\to \infty} \frac{3(n+1)!}{2(n+1)!-n!} $
Решение

Понятно, что предел имеет неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$. Попробуем её устранить избавившись от факториалов. Сразу находим среди них наименьший $n!$. Его нужно будет вынести за скобки. Но перед этим остальные факториалы нужно разложить по формуле (1) и затем подставить в предел.

$$ (n+1)! = n! (n+1) $$

$$ \lim_\limits{x\to \infty} \frac{3n! (n+1)}{2n!(n+1) - n!} = \lim_\limits{x\to \infty} \frac{3(n+1)}{2(n+1)-1} = $$

Далее раскрываем скобки, попутно упрощая выражения, и затем выносим $n$.

$$ = \lim_\limits{x\to \infty} \frac{3n+3}{2n+1} = \lim_\limits{x\to \infty} \frac{n(3+\frac{3}{n})}{n(2+\frac{1}{n})} = $$

Осталось выполнить сокращение на $n$ и получить ответ.

$$ = \lim_\limits{x\to \infty} \frac{3+\frac{3}{n}}{2+\frac{1}{n}} = \frac{3+0}{2+0} = \frac{3}{2} $$

Ответ
$$\lim_\limits{x\to \infty} \frac{3(n+1)!}{2(n+1)!-n!} = \frac{3}{2} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ