Пределы с факториалами
Факториал числа $n!$ равен произведению чисел от 1 до $n$. Например, $5! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5$. Для решения примеров на пределы с факториалами понадобится знать и понимать формулу разложения на множители. $$ (n+1)! = n!(n+1) \qquad (1) $$
Например, $5! = 4! \cdot 5 $, или $5! = 3! \cdot 4 \cdot 5$, а можно еще так $5! = 2! \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 $.
Основная суть идеи:
- Выносим наименьший факториал числа за скобки в числителе и знаменателе
- Сокращаем факториалы, избавляя тем самым предел от них
- Вычисляем предел подходящим способом
| Пример 1 |
| Вычислить предел с факториалами $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} $ |
| Решение |
|
Подставляя $x=\infty$ в предел получаем неопределенность бесконечность делить на бесконечность. Избавимся от факториалов. Для этого используем формулу (1) для их разложения на множители. $ (n+1)! = n! (n+1) $ Подставляем в предел полученное выражение и сокращаем на $n!$ числитель со знаменателем. $$ \lim\limits_{x\to \infty} \frac{n!}{n! (n+1)} = \lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n+1} $$ Теперь подставляя бесконечность в предел вычисляем ответ. $$ \lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n+1} = (\frac{1}{\infty}) = 0 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$\lim\limits_{x\to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = 0 $$ |
| Пример 2 |
| Решить предел с факториалом $ \lim\limits_{x\to \infty} \frac{(2n+1)! + (2n+2)!}{(2n+3)!} $ |
| Решение |
|
Определяем наименьший факториал $(2n+1)!$. Его нужно вынести за скобки. Но перед этим нужно разложить остальные факториалы на множители, одним из которых будет $(2n+1)!$. Для этого воспользуемся формулой (1). $$(2n+2)! = (2n+1)! \cdot (2n+2) $$ $$ (2n+3)! = (2n+1)! \cdot (2n+2)\cdot(2n+3) $$ Выполняем замену в пределе на полученные выражения. $$\lim\limits_{x\to \infty} \frac{(2n+1)! + (2n+1)! (2n+2)}{(2n+1)!(2n+2)(2n+3)} = $$ Выносим общий множитель с факториалом в числителе за скобки и выполняем сокращение со знаменателем. $$ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{(2n+1)! (1+ (2n+2))}{(2n+1)!(2n+2)(2n+3)} = \lim\limits_{x\to \infty} \frac{1+ (2n + 2)}{(2n+2)(2n+3)} = $$ Раскрываем полученные скобки и сокращаем на $2n+3$. $$ = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{2n+3}{(2n+2)(2n+3)} = \lim\limits_{x\to \infty} \frac{1}{2n+2} = (\frac{1}{\infty}) = 0$$ |
| Ответ |
| $$ \lim\limits_{x\to \infty} \frac{(2n+1)! + (2n+2)!}{(2n+3)!} = 0 $$ |
| Пример 3 |
| Найти предел $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{3(n+1)!}{2(n+1)!-n!} $ |
| Решение |
|
Понятно, что предел имеет неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$. Попробуем её устранить избавившись от факториалов. Сразу находим среди них наименьший $n!$. Его нужно будет вынести за скобки. Но перед этим остальные факториалы нужно разложить по формуле (1) и затем подставить в предел. $$ (n+1)! = n! (n+1) $$ $$ \lim\limits_{x\to \infty} \frac{3n! (n+1)}{2n!(n+1) - n!} = \lim\limits_{x\to \infty} \frac{3(n+1)}{2(n+1)-1} = $$ Далее раскрываем скобки, попутно упрощая выражения, и затем выносим $n$. $$ = \lim\limits_{x\to \infty} \frac{3n+3}{2n+1} = \lim\limits_{x\to \infty} \frac{n(3+\frac{3}{n})}{n(2+\frac{1}{n})} = $$ Осталось выполнить сокращение на $n$ и получить ответ. $$ = \lim\limits_{x\to \infty} \frac{3+\frac{3}{n}}{2+\frac{1}{n}} = \frac{3+0}{2+0} = \frac{3}{2} $$ |
| Ответ |
| $$\lim\limits_{x\to \infty} \frac{3(n+1)!}{2(n+1)!-n!} = \frac{3}{2} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ