Предел числовой последовательности
Числовая последовательность $\{x_n\}$ – это правило, по которому каждому натуральному числу $n = 1,2,3,...$ устанавливается соответствующее число $x_n$,называющееся энным членом. Далее будем считать, что имеются в виду только действительные числа. Введём понятие и запишем определение.
Пределом числовой последовательности $\{x_n\}$ называется число $a$, такое что для любого положительного $\varepsilon$ существует натуральное $N = N(\varepsilon)$, при котором для всех $n > N$ выполняется неравенство $$|x_n - a| < \varepsilon .$$
Обозначается он в математическом виде $$\lim \limits_{n\to \infty} x_n = a.$$ Аналогичная короткая форма записи принимает вид $$x_n \to a \text{ при } n \to \infty.$$
Чтобы найти предел последовательности нужно знать основные равенства:
- При $k > 0$ справедливо $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0$
- При $k > 0$ справедливо $\lim\limits_{n \to \infty} n^k = \infty $
- При $|a|<1$ справедливо $\lim\limits_{n \to \infty} a^n = 0 $
- При $|a|>1$ справедливо $\lim\limits_{n \to \infty} a^n = \infty $
- У последовательности $-1,1,-1,1,...$, заданной как $x_n = (-1)^n$ нет предела.
Так же потребуется выучить основные свойства пределов последовательности:
- Сумма $\lim\limits_{n\to \infty} (a_n+b_n) = \lim\limits_{n\to \infty} a_n + \lim\limits_{n\to \infty} b_n = a+b $
- Разность $\lim\limits_{n\to \infty} (a_n-b_n) = \lim\limits_{n\to \infty} a_n - \lim\limits_{n\to \infty} b_n = a-b $
- Произведение $\lim\limits_{n\to \infty} (a_n \cdot b_n) = \lim\limits_{n\to \infty} a_n \cdot \lim\limits_{n\to \infty} b_n = a \cdot b $
- Частное $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim\limits_ {n\to \infty} a_n}{\lim\limits_{n\to \infty} b_n} = \frac{a}{b} $, если $\lim\limits_{n\to \infty} b_n \neq 0 $
- Непрерывная функция $\lim\limits_{n\to \infty} f(a_n) = f (\lim\limits_{n\to \infty} a_n) = f(a) $.
| Пример 1 |
| Найти предел последовательности $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{3^{n+2}+2^{2n+1}}{5+4^{n+2}}$. |
| Решение |
|
Подставляем бесконечность в дробь вместо $n$ и получаем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы от неё избавиться нужно вынести из числителя и знаменателя член с наивысшей степенью. Но прежде воспользуемся свойствами степеней для упрощения выражений. $$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{3^{n+2}+2^{2n+1}}{5+4^{n+2}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{9 \cdot 3^n + 2 \cdot 4^n}{5+16 \cdot 4^n} = $$ Видим, что самые большие слагаемые содержат $4^n$, поэтому именно их выносим за скобки, не забывая за соответствующие множители перед ними. $$ = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 4^n( \frac{9}{2} \cdot (\frac{3}{4})^n + 1)}{16 \cdot 4^n (\frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4^n} +1)} = $$ Воспользовавшись первым равенством из теории замечаем, что $(\frac{3}{4})^n = 0$ и $\frac{1}{4^n} = 0$ при $n\to \infty$. Не забываем сократить дробь на $4^n$ и получаем окончательный ответ. $$ = \frac{2 \cdot (0 + 1)}{16 \cdot (0 + 1)} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \lim\limits_{n\to \infty} \frac{3^{n+2}+2^{2n+1}}{5+4^{n+2}} = \frac{1}{8} $$ |
| Пример 2 |
| Вычислить предел последовательности $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{(5-n)^2+(5+n)^2}{(5-n)^2-(5+n)^2} $. |
| Решение |
|
Выносим из каждой скобки $n$ не забывая про квадрат. А далее выполним сокращение числителя и знаменателя на $n^2$. $$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{(5-n)^2+(5+n)^2}{(5-n)^2-(5+n)^2} = \lim\limits_{n\to \infty} \frac{n^2(\frac{5}{n}-1)^2 + n^2(\frac{5}{n}+1)^2}{n^2(\frac{5}{n}-1)^2-n^2(\frac{5}{n}+1)^2} = $$ $$ = \lim\limits_{n\to \infty} \frac{(\frac{5}{n}-1)^2 + (\frac{5}{n}+1)^2}{(\frac{5}{n}-1)^2-(\frac{5}{n}+1)^2} = \frac{(0-1)^2 + (0+1)^2}{(0-1)^2-(0+1)^2} = $$ Нули в скобках появились из-за первого правила, согласно которому $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n^k} = 0$ при $k>0$. $$ = \frac{1+1}{1-1} = \frac{2}{0} = \infty $$ Обратим внимание на то, что число в числителе деленное на ноль в знаменателе даёт бесконечность. |
| Ответ |
| $$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{(5-n)^2+(5+n)^2}{(5-n)^2-(5+n)^2} = \infty$$ |
| Пример 3 |
| Найти предел числовой последовательности $\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt{n^2+2n}-n$. |
| Решение |
|
Подставим бесконечность вместо $n$ и получим неопределенность. $$\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt{n^2+2n}-n = \infty - \infty $$ Для устранения такой неопределенности нужно избавиться от иррациональности, то есть от корней. Сделаем это с помощью умножения и одновременного деления на сопряженное выражение. Оно отличается только противоположным знаком. $$\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt{n^2+2n}-n = \lim\limits_{n\to \infty} \frac{(\sqrt{n^2+2n}-n)(\sqrt{n^2+2n}+n)}{\sqrt{n^2+2n}+n} = $$ Теперь благодаря формуле $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ сворачиваем выражение в числителе. $$ = \lim\limits_{n\to \infty} \frac{n^2 + 2n - n^2}{\sqrt{n^2+2n}+n} = \lim\limits_{n\to \infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2+2n}+n} = $$ Если в лоб подставим вместо $n$ бесконечность, то найти решение не получится. Вылезет неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы этого не допустить вынесем старшую степень из знаменателя и сократим на $n$. $$ = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n}{n(\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1)} = \frac{2}{\sqrt{1+0}+1} = 1$$ |
| Ответ |
| $$ \lim\limits_{n\to \infty} \sqrt{n^2+2n}-n = 1 $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ