Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Как найти предел числовой последовательности

Числовая последовательность $\{x_n\}$ – это правило, по которому каждому натуральному числу $n = 1,2,3,...$ устанавливается соответствующее число $x_n$, называющееся энным членом. Далее будем считать, что имеются в виду только действительные числа. Введём понятие и запишем определение.

Пределом числовой последовательности $\{x_n\}$ называется число $a$, такое что для любого положительного $\varepsilon$ существует натуральное $N = N(\varepsilon)$, при котором для всех $n > N$ выполняется неравенство $$|x_n - a| < \varepsilon .$$

Обозначается он в математическом виде $$\lim \limits_{n\to \infty} x_n = a. $$ Аналогичная короткая форма записи принимает вид $$x_n \to a \text{ при } n \to \infty. $$

Чтобы успешно вычислить предел последовательности нужно знать основные равенства:

  1. При $k > 0$ справедливо $\lim_\limits {n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0$
  2. При $k > 0$ справедливо $\lim_\limits {n \to \infty} n^k = \infty $
  3. При $|a|<1$ справедливо $\lim_\limits {n \to \infty} a^n = 0 $
  4. При $|a|>1$ справедливо $\lim_\limits {n \to \infty} a^n = \infty $
  5. У последовательности $-1,1,-1,1,...$, заданной как $x_n = (-1)^n$ нет предела.

Так же потребуется выучить основные свойства пределов последовательности:

  • Сумма $\lim_\limits{n\to \infty} (a_n+b_n) = \lim_\limits{n\to \infty} a_n + \lim_\limits{n\to \infty} b_n = a+b $
  • Разность $\lim_\limits{n\to \infty} (a_n-b_n) = \lim_\limits{n\to \infty} a_n - \lim_\limits{n\to \infty} b_n = a-b $
  • Произведение $\lim_\limits{n\to \infty} (a_n \cdot b_n) = \lim_\limits{n\to \infty} a_n \cdot \lim_\limits{n\to \infty} b_n = a \cdot b $
  • Частное $\lim_\limits{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_\limits {n\to \infty} a_n}{\lim_\limits{n\to \infty} b_n} = \frac{a}{b} $, если $\lim_\limits{n\to \infty} b_n \neq 0 $
  • Непрерывная функция $\lim_\limits{n\to \infty} f(a_n) = f (\lim_\limits{n\to \infty} a_n) = f(a) $.
Пример 1
Найти предел последовательности $\lim_\limits{n\to \infty} \frac{3^{n+2}+2^{2n+1}}{5+4^{n+2}}$.
Решение

Подставляем бесконечность в дробь вместо $n$ и получаем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы от неё избавиться нужно вынести из числителя и знаменателя член с наивысшей степенью. Но прежде воспользуемся свойствами степеней для упрощения выражений.

$$\lim_\limits{n\to \infty} \frac{3^{n+2}+2^{2n+1}}{5+4^{n+2}} = \lim_\limits{n \to \infty} \frac{9 \cdot 3^n + 2 \cdot 4^n}{5+16 \cdot 4^n} = $$

Видим, что самые большие слагаемые содержат $4^n$, поэтому именно их выносим за скобки, не забывая за соответствующие множители перед ними.

$$ = \lim_\limits{n \to \infty} \frac{2 \cdot 4^n( \frac{9}{2} \cdot (\frac{3}{4})^n + 1)}{16 \cdot 4^n (\frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4^n} +1)} = $$

Воспользовавшись первым равенством из теории замечаем, что $(\frac{3}{4})^n = 0$ и $\frac{1}{4^n} = 0$ при $n\to \infty$. Не забываем сократить дробь на $4^n$ и получаем окончательный ответ.

$$ = \frac{2 \cdot (0 + 1)}{16 \cdot (0 + 1)} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \lim_\limits{n\to \infty} \frac{3^{n+2}+2^{2n+1}}{5+4^{n+2}} = \frac{1}{8} $$
Пример 2
Вычислить предел последовательности $\lim_\limits{n\to \infty} \frac{(5-n)^2+(5+n)^2}{(5-n)^2-(5+n)^2} $.
Решение

Выносим из каждой скобки $n$ не забывая про квадрат. А далее выполним сокращение числителя и знаменателя на $n^2$.

$$\lim_\limits{n\to \infty} \frac{(5-n)^2+(5+n)^2}{(5-n)^2-(5+n)^2} = \lim_\limits{n\to \infty} \frac{n^2(\frac{5}{n}-1)^2 + n^2(\frac{5}{n}+1)^2}{n^2(\frac{5}{n}-1)^2-n^2(\frac{5}{n}+1)^2} = $$ $$ = \lim_\limits{n\to \infty} \frac{(\frac{5}{n}-1)^2 + (\frac{5}{n}+1)^2}{(\frac{5}{n}-1)^2-(\frac{5}{n}+1)^2} = \frac{(0-1)^2 + (0+1)^2}{(0-1)^2-(0+1)^2} = $$

Нули в скобках появились из-за первого правила, согласно которому $\lim_\limits{n\to \infty} \frac{1}{n^k} = 0$ при $k>0$.

$$ = \frac{1+1}{1-1} = \frac{2}{0} = \infty $$

Обратим внимание на то, что число в числителе деленное на ноль в знаменателе даёт бесконечность. 

Ответ
$$\lim_\limits{n\to \infty} \frac{(5-n)^2+(5+n)^2}{(5-n)^2-(5+n)^2} = \infty$$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 3
Найти предел числовой последовательности $\lim_\limits{n\to \infty} \sqrt{n^2+2n}-n$.
Решение

Подставим бесконечность вместо $n$ и получим неопределенность.

$$\lim_\limits{n\to \infty} \sqrt{n^2+2n}-n = \infty - \infty $$

Для устранения такой неопределенности нужно избавиться от иррациональности, то есть от корней. Сделаем это с помощью умножения и одновременного деления на сопряженное выражение. Оно отличается только противоположным знаком.

$$\lim_\limits{n\to \infty} \sqrt{n^2+2n}-n = \lim_\limits{n\to \infty} \frac{(\sqrt{n^2+2n}-n)(\sqrt{n^2+2n}+n)}{\sqrt{n^2+2n}+n} = $$

Теперь благодаря формуле $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ сворачиваем выражение в числителе.

$$ = \lim_\limits {n\to \infty} \frac{n^2 + 2n - n^2}{\sqrt{n^2+2n}+n} = \lim_\limits {n\to \infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2+2n}+n} = $$

Если в лоб подставим вместо $n$ бесконечность, то найти решение не получится. Вылезет неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы этого не допустить вынесем старшую степень из знаменателя и сократим на $n$.

$$ = \lim_\limits{n \to \infty} \frac{2n}{n(\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1)} = \frac{2}{\sqrt{1+0}+1} = 1$$

 

Ответ
$$ \lim_\limits{n\to \infty} \sqrt{n^2+2n}-n = 1 $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ