Пределы с синусами и косинусами
Чтобы решать пределы с синусами и косинусами необходимо уметь выполнять элементарные преобразования под первый замечательный предел, а также знать основные тригонометрические формулы. Так же применимо правило Лопиталя для вычисления с помощью производной. Рассмотрим примеры решений.
| Пример 1 |
| Вычислить предел с синусом $ \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 7x} $ |
| Решение |
|
Воспользуемся формулой первого замечательного предела $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$ Подстраиваем дробь под знаком предела путем элементарных преобразований. Одновременно умножаем и делим на 7 числитель со знаменателем: $$ \lim_{x\to 0} \frac{7 \cdot 5x}{7\sin 7x} = $$ Выносим множители из числителя и знаменателя за знак предела $$ = \frac{5}{7} \lim_{x\to 0} \frac{7x}{\sin 7x} = $$ Переворачиваем подпредельную дробь под вид общей формулы первого замечательного предела $$ = \frac{5}{7} \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin 7x}{7x}} = \frac{5}{7} \cdot 1 = \frac{5}{7} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \lim_{x\to 0} \frac{5x}{\sin 7x} = \frac{5}{7} $$ |
| Пример 2 |
| Решить пределы с косинусом $ \lim_{x\to 0} \frac{\cos 3x - \cos x}{x^2} $ |
| Решение |
|
Используем тригонометрическую формулу разности косинусов: $$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \sin \frac{\alpha + \beta}{2} $$ Выполняем преобразование разности косинусов в произведение синусов $$ \cos 3x - \cos x = -2 \sin \frac{3x-x}{2} \sin \frac{3x+x}{2} = -2 \sin x \sin 2x $$ Записываем предел с новым числителем $$ \lim_{x\to 0} \frac{-2 \sin x \sin 2x}{x^2} = $$ Разбиваем предел на два, чтобы воспользоваться первым замечательным пределом: $$ = -2\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{x} = $$ Первый предел равен единице, поэтому остаётся разобраться со вторым. Подгоним его под формулу замечательного предела путем домножения числителя и знаменателя на число равное аргументу синуса $$ = -2 \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{x} = -4 \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = -4 $$ |
| Ответ |
| $$ \lim_{x\to 0} \frac{\cos 3x - \cos x}{x^2} = -4 $$ |
| Пример 3 |
| Взять предел с косинусом $ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} $ |
| Решение |
|
В данном случае целесообразно прибегнуть к таблице эквивалентных элементарных функций, а именно $$ 1- \cos x = \frac{x^2}{2} $$ Подставляем в предел и получаем $$ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} $$ Осталось выполнить сокращение числителя на знаменатель, чтобы записать ответ $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2} $$ |
| Ответ |
| $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ