Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Как решать пределы с синусами и косинусами?

Чтобы решать пределы с синусами и косинусами необходимо уметь выполнять элементарные преобразования под первый замечательный предел, а также знать основные тригонометрические формулы. Так же применимо правило Лопиталя для вычисления с помощью производной. Рассмотрим примеры решений.

Пример 1
Вычислить предел с синусом $ \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 7x} $
Решение

Воспользуемся формулой первого замечательного предела $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$ Подстраиваем дробь под знаком предела путем элементарных преобразований. Одновременно умножаем и делим на 7 числитель со знаменателем: $$ \lim_{x\to 0} \frac{7 \cdot 5x}{7\sin 7x} = $$

Выносим множители из числителя и знаменателя за знак предела $$ = \frac{5}{7} \lim_{x\to 0} \frac{7x}{\sin 7x} = $$ Переворачиваем подпредельную дробь под вид общей формулы первого замечательного предела $$ = \frac{5}{7} \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin 7x}{7x}} = \frac{5}{7} \cdot 1 = \frac{5}{7} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \lim_{x\to 0} \frac{5x}{\sin 7x} = \frac{5}{7} $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Решить пределы с косинусом $ \lim_{x\to 0} \frac{\cos 3x - \cos x}{x^2} $
Решение

Используем тригонометрическую формулу разности косинусов: $$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \sin \frac{\alpha + \beta}{2} $$

Выполняем преобразование разности косинусов в произведение синусов $$ \cos 3x - \cos x = -2 \sin \frac{3x-x}{2} \sin \frac{3x+x}{2} = -2 \sin x \sin 2x $$ Записываем предел с новым числителем $$ \lim_{x\to 0} \frac{-2 \sin x \sin 2x}{x^2} = $$

Разбиваем предел на два, чтобы воспользоваться первым замечательным пределом: $$ = -2\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{x} = $$ Первый предел равен единице, поэтому остаётся разобраться со вторым. Подгоним его под формулу замечательного предела путем домножения числителя и знаменателя на число равное аргументу синуса $$ = -2 \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{x} = -4 \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = -4 $$

Ответ
$$ \lim_{x\to 0} \frac{\cos 3x - \cos x}{x^2} = -4 $$
Пример 3
Взять предел с косинусом $ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} $
Решение

В данном случае целесообразно прибегнуть к таблице эквивалентных элементарных функций, а именно $$ 1- \cos x = \frac{x^2}{2} $$

Подставляем в предел и получаем $$ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} $$ Осталось выполнить сокращение числителя на знаменатель, чтобы записать ответ $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2} $$

Ответ
$$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ