Первый замечательный предел
Первый замечательный предел часто применяется для вычисления пределов содержащих синус, арксинус, тангенс, арктангенс и получающихся при них неопределенностей ноль делить на ноль.
Формула
Формула первого замечательного предела имеет вид: $$ \lim_{\alpha\to 0} \frac{\sin\alpha}{\alpha} = 1 $$
Замечаем, что при $ \alpha\to 0 $ получается $ \sin\alpha \to 0 $, тем самым в числетеле и в знаменателе имеем нули. Таким образом формула первого замечательного предела нужна для раскрытия неопределенностей $ \frac{0}{0} $.
Для применения формулы необходимо, чтобы были соблюдены два условия:
- Выражения, содержащиеся в синусе и знаменателе дроби совпадают
- Выражения, стоящие в синусе и знаменателе дроби стремятся к нулю
Внимание! $ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x^2+1)}{2x^2+1} \neq 1 $ Хотя выражения под синусом и в знаменателе одинаковые, однако $ 2x^2+1 = 1 $, при $ x\to 0 $. Не выполнено второе условие, поэтому применять формулу НЕЛЬЗЯ!
Следствия
Достаточно редко в задания можно увидеть чистый первый замечательный предел, в котором можно сразу было бы записать ответ. На практике всё немного сложнее выглядит, но для таких случаев будет полезно знать следствия первого замечательного предела. Благодаря им можно быстро вычислить нужные пределы.
$$ \lim_{\alpha\to 0} \frac{\alpha}{\sin\alpha} = 1 $$
$$ \lim_{\alpha\to 0} \frac{\sin(a\alpha)}{\sin(b\alpha)} = \frac{a}{b} $$
$$ \lim_{\alpha\to 0} \frac{tg\alpha}{\alpha} = 1 $$
$$ \lim_{\alpha\to 0} \frac{\arcsin\alpha}{\alpha} = 1 $$
$$ \lim_{\alpha\to 0} \frac{arctg\alpha}{\alpha} = 1 $$
Примеры решений
Рассмотрим первый замечательный предел, примеры решения которого на вычисление пределов содержащих тригонометрические функции и неопределенность $ \bigg[\frac{0}{0}\bigg] $
| Пример 1 |
| Вычислить $ \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{4x} $ |
| Решение |
|
Рассмотрим предел и заметим, что в нём присутствует синус. Далее подставим $ x = 0 $ в числитель и знаменатель и получим неопределенность нуль делить на нуль: $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{4x} = \frac{0}{0} $$ Уже два признака того, что нужно применять замечательный предел, но есть небольшой нюанс: сразу применить формулу мы не сможем, так как выражение под знаком синуса отличается от выражения стоящего в знаменателе. А нам нужно, чтобы они были равны. Поэтому с помощью элементарных преобразований числителя мы превратим его в $ 2x $. Для этого мы вынесем двойку из знаменателя дроби отдельным множителем. Выглядит это так: $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{4x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{2\cdot 2x} = $$ $$ = \frac{1}{2} \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{2x} = \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2} $$ Обратите внимание, что в конце $ \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{2x} = 1 $ получилось по формуле. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin2x}{4x} =\frac{1}{2} $$ |
| Пример 2 |
| Найти $ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^3+2x)}{2x-x^4} $ |
| Решение |
|
Как всегда сначала нужно узнать тип неопределенности. Если она нуль делить на нуль, то обращаем внимание на наличие синуса: $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^3+2x)}{2x-x^4} = \frac{0}{0} = $$ Данная неопределенность позволяет воспользоваться формулой первого замечательного предела, но выражение из знаменателя не равно аргументу синуса? Поэтом "в лоб" применить формулу нельзя. Необходимо умножить и разделить дробь на аргумент синуса: $$ = \lim_{x\to 0} \frac{(x^3+2x)\sin(x^3+2x)}{(2x-x^4)(x^3+2x)} = $$ Теперь по свойствам пределов расписываем: $$ = \lim_{x\to 0} \frac{(x^3+2x)}{2x-x^4}\cdot \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^3+2x)}{(x^3+2x)} = $$ Второй предел как раз подходит под формулу и равен единице: $$ = \lim_{x\to 0} \frac{x^3+2x}{2x-x^4}\cdot 1 = \lim_{x\to 0} \frac{x^3+2x}{2x-x^4} = $$ Снова подставляем $ x = 0 $ в дробь и получаем неопределенность $ \frac{0}{0} $. Для её устранения достоточно вынести за скобки $ x $ и сократить на него: $$ = \lim_{x\to 0} \frac{x(x^2+2)}{x(2-x^3)} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2+2}{2-x^3} = $$ $$ = \frac{0^2 + 2}{2 - 0^3} = \frac{2}{2} = 1 $$ |
| Ответ |
| $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^3+2x)}{2x-x^4} = 1 $$ |
| Пример 3 |
| Определить $ \lim_{x\to 3} \frac{\frac{\sin(x^2-9)}{x+8}}{\frac{x^2-9}{x+8}} $ |
| Решение |
|
Подставляя $ x = 3 $ в аргумент синуса обращаем внимание на то, что сам аргумент стремится к нулю, как и синус: $$ \bigg(\frac{x^2-9}{x+8}\bigg) \to 0, \text{ при } x\to 3 $$ $$ \sin\bigg(\frac{x^2-9}{x+8}\bigg) \to 0, \text{ при } \frac{x^2-9}{x+8} \to 0 $$ Выполняем решение, используя первый замечательный предел: $$ \lim_{x\to 3} \frac{\frac{\sin(x^2-9)}{x+8}}{\frac{x^2-9}{x+8}} = 1$$ |
| Ответ |
| $$ \lim_{x\to 3} \frac{\frac{\sin(x^2-9)}{x+8}}{\frac{x^2-9}{x+8}} = 1$$ |
| Пример 4 |
| Вычислить $ \lim_{x\to0} \frac{\sin2x}{tg3x} $ |
| Решение |
|
Вычисление начнём с подстановки $ x=0 $. В результате получаем неопределенность $ \frac{0}{0} $. Предел содержит синус и тангенс, что намекает на возможное развитие ситуации с использованием формулы первого замечательного предела. Преобразуем числитель и знаменатель дроби под формулу и следствие: $$ \lim_{x\to0} \frac{\sin2x}{tg3x} = \frac{0}{0} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin2x}{2x}\cdot 2x}{\frac{tg3x}{3x}\cdot 3x} = $$ Теперь видим в числителе и знаменателе появились выражения подходящие под формулу и следствия. Аргумент синуса и аргумент тангенса совпадают для соответствующих знаменателей $$ = \lim_{x\to0} \frac{1\cdot 2x}{1\cdot 3x} = \frac{2}{3} $$ |
| Ответ |
| $$ \lim_{x\to0} \frac{\sin2x}{tg2x} = \frac{2}{3} $$ |
В статье: "Первый замечательный предел, примеры решения" было рассказано о случаях, в которых целесообразно использовать данную формулу и её следствия.
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ