Правило Лопиталя
Формула
Для решения пределов существуют различные методы решений и формулы. Но самым быстрым и легким способом, а также универсальным является метод Лопиталя. Для того, чтобы успешно пользоваться этим замечательным простым способом вычисления пределов достаточно хорошо уметь находить производные различных функций. Начнём с теории.
Сформулируем правило Лопиталя. Если:
- $ \lim \limits_{x \to a} f(x) = \lim \limits_{x \to a} g(x) = 0 \text{ или } \infty $
- Существуют $ f'(a) \text{ и } g'(a) $
- $ g'(x)\neq0 $
- Существует $ \lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} $
тогда существует $ \lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $
- Подставляем точку $ x $ в предел
- Если получается $ \frac{0}{0} \text{ или } \frac{\infty}{\infty} $, тогда находим производную числителя и знаменателя
- Подставляем точку $ x $ в получившийся предел и вычисляем его. Если получается неопределенность, то повторяем пункты 2 и 3
Примеры решения
| Пример 1 |
| Решить предел по правилу Лопиталя: $ \lim\limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x^3+x+2} $ |
| Решение |
|
$$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x^3+x+2} = \frac{0}{0} = $$ Видим, что получилась неопределенность $ \frac{0}{0} $, если подставить вместо иксов точку $ x = -1 $, а это первый сигнал о том, что необходимо применить формулу для вычисления предела. Используем её: $$ = \lim \limits_{x \to -1} \frac{(x^2-1)'}{(x^3+x+2)'} = $$ $$ =\lim \limits_{x \to -1} \frac{2x}{3x^2+1} = $$ Снова попробуем вычислить предел подставив $ x=-1 $ в последний предел, получаем: $$ =\frac{2 \cdot (-1)}{3 \cdot (-1)^2+1} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \lim\limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x^3+x+2} = -\frac{1}{2} $$ |
| Пример 2 |
| Вычислить пределы правилом Лопиталя: $ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} $ |
| Решение |
|
Решение проводим стандартно, подставляя икс. $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \frac{\infty}{\infty} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'}= $$ $$ =\lim \limits_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}=\lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = \frac{1}{\infty} = 0 $$ |
| Ответ |
| $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 $$ |
| Пример 3 |
| Воспользовавшись формулой Лопиталя решить предел: $ \lim \limits_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} $ |
| Решение |
|
$$ \lim \limits_{x\to 0} \frac{\cos x-1}{x^2} = \frac{0}{0} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{(\cos x-1)'}{(x^2)'}= $$ $$ =\lim \limits_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2x} = \frac{0}{0}=\lim \limits_{x \to 0} \frac{(-\sin x)'}{(2x)'}= $$ $$ =\lim \limits_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2} = \frac{-\cos 0}{2} = -\frac{1}{2} $$ |
| Ответ |
| $$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2} $$ |
| Пример 4 |
| Вычислить предел используя правило Лопиталя: $ \lim \limits_{x\to 0} \frac{\sin 2x-e^{5x}+1}{x-\cos x+1} $ |
| Решение |
|
$$ \lim \limits_{x\to 0} \frac{\sin 2x-e^{5x}+1}{x-\cos x+1} = \frac{0}{0}= $$ $$ =\lim \limits_{x\to 0} \frac{(\sin 2x-e^{5x}+1)'}{(x-\cos x+1)'} = $$ $$ =\lim \limits_{x\to 0} \frac{(\sin 2x)'-(e^{5x})'+(1)'}{(x)'-(\cos x)'+(1)'}= $$ $$ =\lim \limits_{x\to 0} \frac{2\cos 2x-5e^{5x}}{1+\sin x} =\frac{2\cos0-5e^0}{1+\sin 0}= $$ $$ =\frac{2\cdot 1-5\cdot 1}{1+0} = \frac{-3}{1} = -3 $$ |
| Ответ |
| $$ \lim \limits_{x\to 0} \frac{\sin 2x-e^{5x}+1}{x-\cos x+1} = -3 $$ |
Подведем итог: Правило Лопиталя - это способ и метод благодаря которому можно раскрывать неопределенности вида $ \frac{0}{0} $ и $ \frac{\infty}{\infty} $ при вычислении пределов. Суть его состоит в том, что предел отношения функций равен пределу отношений производных от этих функций.
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ