Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Как решать пределы с бесконечностью

Рассмотрим основные типы неопределенностей пределов на бесконечности с примерами решений:

  1. $ [\frac{0}{0}] $
  2. $ [\infty - \infty] $
  3. $[\frac{\infty}{\infty}]^{[\infty]} и [1 ^ \infty] $
Пример 1
Вычислить предел функции, стремящейся к бесконечности $ \lim _\limits{x \to \infty} \frac{x^3-4x+1}{x^3+x^2-2} $
Решение

Первым делом подставляем $ x\to \infty $ в предел, чтобы попытаться его вычислить.
$$ \lim _\limits{x \to \infty} \frac{x^3-4x+1}{x^3+x^2-2} = \frac{\infty}{\infty} = $$

Вычисление не дало результата, так как появилась неопределенность. Чтобы устранить её, вынесем за скобки в числителе и знаменателе $x$ с наибольшей степенью.

$$ \lim _\limits{x \to \infty} \frac{x^3(1 - \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^3})}{x^3(1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^3})} = \lim _\limits{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^3}} = $$

Максимальная степень у $x^3$, поэтому вынесли именно её, а затем выполнили сокращение. Пользуясь тем, что $\lim_\limits{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$ получаем ответ.

$$ = \frac{1-0+0}{1+0-0} = \frac{1}{1} = 1 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \lim _\limits{x \to \infty} \frac{x^3-4x+1}{x^3+x^2-2} = 1 $$
Пример 2
Решить предел с бесконечностью $\lim_\limits{x\to \infty} \sqrt{x^2+1}-x$ 
Решение

Так как предел стремится к бесконечности, то подставляем её в функцию под знаком предела.

$$ \lim_\limits{x\to \infty} \sqrt{x^2+1}-x = [\infty - \infty] $$

Получили неопределенность. Для избавления от неё умножим и разделим функцию под знаком предела на сопряженную к ней. Она будет отличаться только одним знаком.

$$ \lim_\limits{x\to \infty} \sqrt{x^2+1}-x = \lim_\limits{x\to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x} = $$

По формуле разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ сворачиваем числитель. А знаменатель пока не трогаем.

$$ = \lim_\limits{x\to \infty} \frac{x^2+1 - x^2}{\sqrt{x^2+1}+x} = \lim_\limits{x\to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} = $$

Снова подставляем бесконечность в предел и получаем $\frac{1}{\infty}$, что равняется нулю. Поэтому записываем сразу ответ.

$$ = \lim_\limits{x\to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} = \frac{1}{\infty} = 0 $$

Ответ
$$ \lim_\limits{x\to \infty} \sqrt{x^2+1}-x = 0 $$ 
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 3
Решить предел на бесконечности $\lim_\limits{x \to \infty} \bigg (\frac{3x-4}{3x+2} \bigg)^\frac{x+1}{2} $ 
Решение

При подставлении $x \to \infty $ в предел получаем неопределенность. $$ \lim_\limits{x \to \infty} \bigg (\frac{3x-4}{3x+2} \bigg)^\frac{x+1}{2} = \bigg[\frac{\infty}{\infty}\bigg]^{[\infty]} $$

Для решения примера понадобится формула второго замечательного предела. $$\lim_\limits{x\to \infty} \bigg(1+\frac{1}{x} \bigg)^x = e \qquad (1) $$

Из выражения, стоящего под знаком предела вычитаем единицу, чтобы его подстроить под формулу (1).

$$ \frac{3x-4}{3x+2} - 1 = \frac{3x-4 - 3x - 2}{3x+2} = \frac{-6}{3x+2} $$

Перепишем предел из условия задачи в новом виде и подставим в него $x\to \infty$.

$$ \lim_\limits {x\to \infty} \bigg (1 + \frac{-6}{3x+2} \bigg )^\frac{x+1}{2} = [1]^\infty $$

Пользуясь формулой (1) проведем вычисление лимита. В скобках перевернем дробь.

$$ \lim_\limits {x\to \infty} \bigg (1 + \frac{-6}{3x+2} \bigg )^\frac{x+1}{2} = \lim_\limits {x\to \infty} \bigg (1 + \frac{1}{\frac{3x+2}{-6}} \bigg )^\frac{x+1}{2} = $$

По условиями формулы второго замечательного предела (1) в скобках знаменатель дроби должен быть равен степени за скобкой. Выполним преобразование степени. Для этого умножим и разделим на $\frac{3x+2}{-6}$.

$$ = \lim_\limits {x\to \infty} \bigg (1 + \frac{1}{\frac{3x+2}{-6}} \bigg )^{\frac{3x+2}{-6} \cdot \frac{-6}{3x+2} \cdot \frac{x+1}{2}} = \lim _\limits{x \to \infty} e^{\frac{-6}{3x+2} \cdot \frac{x+1}{2}} = $$

Остаётся сократить степень экспоненты и найти её предел.

$$ = \lim_\limits{x \to \infty} e^\frac{-3x-3}{3x+2} = e^{\lim_\limits{x\to \infty} \frac{-3x-3}{3x+2}} = $$

Предел дроби равен отношению коэффициентов при старшей степени $x$.

$$ = e^\frac{-3}{3} = e^{-1} = \frac{1}{e} $$

Ответ
$$ \lim_\limits{x \to \infty} \bigg (\frac{3x-4}{3x+2} \bigg)^\frac{x+1}{2} = \frac{1}{e} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ