Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Пределы с корнями: примеры решений

Среди задач на решение пределов попадаются пределы с корнями. В результате подстановки значения $ x $ в функцию получаются неопределенности трёх видов:

  1. $ \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $ 
  2. $ \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] $
  3. $ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

Перед тем, как приступить к решению определите тип своей задачи

Тип 1 $ \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $

Для того, чтобы раскрывать такие неопределенности необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное к выражению содержащему корень.

Пример 1
Найти предел с корнем $$ \lim \limits_{x \to 4} \frac{x-4}{4-\sqrt{x+12}} $$
Решение

Подставляем $ x \to 4 $ в подпределельную функцию:

$$ \lim \limits_{x \to 4} \frac{x-4}{4-\sqrt{x+12}} = \frac{0}{0} = $$

Получаем неопределенность $ [\frac{0}{0}] $. Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное к нему, так как он содержит корень: $ 4+\sqrt{x+12} $

$$ = \lim \limits_{x \to 4} \frac{(x-4)(4+\sqrt{x+12})}{(4-\sqrt{x+12})(4+\sqrt{x+12})} = $$

Используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ приведем предел к следующему виду:

$$ = \lim \limits_{x \to 4} \frac{(x-4)(4+\sqrt{x+12})}{16-(x+12)} = $$

Раскрываем скобки в знаменателе и упрощаем его:

$$ = \lim \limits_{x \to 4} \frac{(x-4)(4+\sqrt{x+12})}{4-x} = $$

Сокращам функцию в пределе на $ x-4 $, имеем:

$$ = -\lim \limits_{x \to 4} (4+\sqrt{x+12}) = -(4+\sqrt{4+12}) = -8 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \lim \limits_{x \to 4} \frac{x-4}{4-\sqrt{x+12}} = -8 $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание

Тип 2 $ \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ]  $

Пределы с корнем такого типа, когда $ x \to \infty $ вычислять нужно по-другому в отличии от предыдущего случая. Необходимо определить старшие степени выражений числителя и знаменателя. Затем вынести самую старшую из двух степеней за скобки и сократить.

Пример 2
Решить предел с корнем $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2+5x+2}{\sqrt{x+6}} $$
Решение

Вставляем $ x \to \infty $ в предел и получаем $ [\frac{\infty}{\infty}] $. Определяем, что в числителе старшая степень это $ x^2 $, а в знаменателе $ \sqrt{x} $. Выносим их за скобки: 

$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2(1+\frac{5x}{x^2}+\frac{2}{x^2})}{x^2(\sqrt{\frac{x}{x^4}+\frac{6}{x^4})}} = $$

Теперь выполняем сокращение:

$$ = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{1+\frac{5x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\sqrt{\frac{1}{x^3}+\frac{6}{x^4}}} = $$

Снова подставляем $ x \to \infty $ в предел, имеем:

$$ = \frac{1 + 0 + 0}{ \sqrt{0 + 0}} = \lbrack \frac{1}{0} \rbrack = \infty $$

Ответ
$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2+5x+2}{\sqrt{x+6}} = \infty $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание

Тип 3 $ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

Этот вид пределов часто попадается в дополнительных заданиях на экзамене. Ведь часто студенты не правильно вычисляют пределы такого типа. Как решать пределы с корнями данного вида? Всё просто. Необходимо умножить и разделить функцию, стоящую в пределе, на выражение сопряженное к ней.

Пример 3
Вычислить предел корня $$ \lim \limits_{x \to \infty} \sqrt{x^2-3x}-x $$
Решение

При $ x \to \infty $ в пределе видим:

$$ \lim \limits_{x \to \infty} \sqrt{x^2-3x}-x = [\infty - \infty] = $$

После домножения и разделения на сопряженное имеем предел:

$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2-3x}-x)(\sqrt{x^2-3x}+x)}{\sqrt{x^2-3x}+x} = $$

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов: $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $

$$ = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{(x^2-3x)-x^2}{\sqrt{x^2-3x}+x} =  $$

После раскрытия скобок и упрощения получаем:

$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{-3x}{\sqrt{x^2-3x}+x} = $$

Далее выносим $ x $ за скобки и сокращаем:

$$ = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{-3x}{x(\sqrt{1-\frac{3}{x}}+1)} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{-3}{\sqrt{1-\frac{3}{x}}+1} = $$

Снова подставляем $ x \to \infty $ в предел и вычисляем его:

$$ = \frac{-3}{\sqrt{1-0}+1} = -\frac{3}{2} $$

Ответ
$$ \lim \limits_{x \to \infty} \sqrt{x^2-3x}-x = -\frac{3}{2} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ