Таблица эквивалентности пределов
Для раскрытия неопределенностей ноль делить на ноль $[\frac{0}{0}]$ очень удобно использовать таблицу эквивалентности пределов. Важно, чтобы аргумент функции стремился к нулю. Только в этом случае возможно делать замену.
| Формулы эквивалентности пределов | |
| $ \sin x \sim x $ | $ e^x - 1 \sim x $ |
| $ tg \;x \sim x $ | $ a^x - 1 \sim x\ln a $ |
| $ \arcsin x \sim x $ | $ \ln (1+x) \sim x $ |
| $ arctg \; x \sim x $ | $\log_a (1+x) \sim \frac{x}{\ln a}$ |
| $ 1- \cos x \sim \frac{x^2}{2} $ | $(1+x)^a - 1 \sim ax $ |
| Пример 1 |
| Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции $\lim\limits_{x\to 0} \frac{x \sin x^2}{\arcsin x} $ |
| Решение |
|
Подставляем точку $x=0$ в предел и получаем неопределенность. $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{x \sin x^2}{\arcsin x} = \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $$ Замечаем под пределом две функции, для которых можно использовать формулы эквивалентных бесконечно малых функций. Но перед этим проверим, что аргументы их стремятся к нулю. $$ \sin 0^2 = \sin 0 = 0 $$ $$ \arcsin 0 = 0 $$ Значит для нашей задачи получаем следующие замены. $$ \sin x^2 \sim x^2 $$ $$ \arcsin x \sim x $$ Подставим эквивалентности в предел, чтобы вычислить ответ. $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{x \sin x^2}{\arcsin x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{x \cdot x^2}{x} = $$ Сокращаем знаменатель и подставляем в оставшееся выражение под числителем $x=0$. $$ = \lim\limits_{x\to 0} x^2 = 0^2 = 0 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \lim\limits_{x\to 0} \frac{x \sin x^2}{\arcsin x} = 0 $$ |
| Пример 2 |
| Заменяя эквивалентными бесконечно малыми, найдите предел $ \lim\limits_{x\to 0} \frac{1-\cos 4x}{x} $ |
| Решение |
|
В пределе получаем неопределенность ноль делить на ноль $[\frac{0}{0}]$. Замечаем, что числитель похож на формулу из таблицы эквивалентности пределов. Подставим в него точку $x=0$. $$ 1- \cos (4 \cdot 0) = 1-\cos 0 = 1 - 1 = 0 $$ Получили, что числитель равен нулю при $x=0$, а это значит допустима замена на бесконечно малую функцию. $$ 1-\cos 4x = \frac{(4x)^2}{2} = \frac{16x^2}{2} = 8x^2 $$ Возвращаемся к пределу, подставляя в него полученное выражение для числителя. $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{1-\cos 4x}{x} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{8x^2}{x} = \lim\limits_{x\to 0} 8x = 0 $$ |
| Ответ |
| $$ \lim\limits_{x\to 0} \frac{1-\cos 4x}{x} = 0 $$ |
| Пример 3 |
| Вычислить предел функции используя эквивалентно малые величины $\lim\limits_{x\to 1} \frac{\sin (x-1)}{x^2-1} $ |
| Решение |
|
Подставив $x=1$ получаем неопределенность $[ \frac{0}{0} ] $. Замечаем, что в числителе присутствует синус, который есть в таблице эквивалентностей. По необходимому условию аргумент синуса должен стремиться к нулю, чтобы применить формулу эквивалентности. Проверим это подставив $x=1$ в него. $$ \sin (1-1) = \sin 0 = 0 $$ Проверка показала, что формулу можно применить, так как аргумент равен нулю. $$ \sin (x-1) \sim x-1 $$ $$\lim\limits_{x\to 1} \frac{\sin (x-1)}{x^2} = \lim\limits_{x\to 1} \frac{x-1}{x^2-1} = $$ Применяя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ для знаменателя упрощаем его. $$ = \lim\limits_{x\to 1} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \lim\limits_{x\to 1} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{2} $$ |
| Ответ |
| $$ \lim\limits_{x\to 1} \frac{\sin (x-1)}{x^2-1} = \frac{1}{2} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ