Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Таблица эквивалентности пределов

Для раскрытия неопределенностей ноль делить на ноль $[\frac{0}{0}]$ очень удобно использовать таблицу эквивалентности пределов. Важно, чтобы аргумент функции стремился к нулю. Только в этом случае возможно делать замену.

Формулы эквивалентности пределов
$$ \sin x \sim x $$ $ e^x - 1 \sim x $
$ tg \;x \sim x $ $ a^x - 1 \sim x\ln a $
$$ \arcsin x \sim x $$ $$ \ln (1+x) \sim x $$
$ arctg \; x \sim x $ $\log_a (1+x) \sim \frac{x}{\ln a}$
$$ 1- \cos x \sim \frac{x^2}{2} $$ $$(1+x)^a - 1 \sim ax $$
Пример 1
Найти пределы используя эквивалентные бесконечно малые функции $\lim_\limits{x\to 0} \frac{x \sin x^2}{\arcsin x} $
Решение

Подставляем точку $x=0$ в предел и получаем неопределенность.

$$ \lim_\limits{x\to 0} \frac{x \sin x^2}{\arcsin x} = \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $$

Замечаем под пределом две функции, для которых можно использовать формулы эквивалентных бесконечно малых функций. Но перед этим проверим, что аргументы их стремятся к нулю.

$$ \sin 0^2 = \sin 0 = 0 $$ $$ \arcsin 0 = 0 $$

Значит для нашей задачи получаем следующие замены.

$$ \sin x^2 \sim x^2 $$ $$ \arcsin x \sim x $$

Подставим эквивалентности в предел, чтобы вычислить ответ.

$$ \lim_\limits{x\to 0} \frac{x \sin x^2}{\arcsin x} = \lim _\limits{x \to 0} \frac{x \cdot x^2}{x} = $$

Сокращаем знаменатель и подставляем в оставшееся выражение под числителем $x=0$.

$$ = \lim_\limits{x\to 0} x^2 = 0^2 = 0 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \lim_\limits{x\to 0} \frac{x \sin x^2}{\arcsin x} = 0 $$
Пример 2
Заменяя эквивалентными бесконечно малыми найдите предел $ \lim_\limits{x\to 0} \frac{1-\cos 4x}{x} $
Решение

В пределе получаем неопределенность ноль делить на ноль $[\frac{0}{0}]$. Замечаем, что числитель похож на формулу из таблицы эквивалентности пределов. Подставим в него точку $x=0$.

$$ 1- \cos (4 \cdot 0) = 1-\cos 0 = 1 - 1 = 0 $$

Получили, что числитель равен нулю при $x=0$, а это значит допустима замена на бесконечно малую функцию.

$$ 1-\cos 4x = \frac{(4x)^2}{2} = \frac{16x^2}{2} = 8x^2 $$

Возвращаемся к пределу, подставляя в него полученное выражение для числителя.

$$ \lim_\limits{x\to 0} \frac{1-\cos 4x}{x} = \lim_\limits{x\to 0} \frac{8x^2}{x} = \lim_\limits{x\to 0} 8x = 0 $$

Ответ
$$ \lim_\limits{x\to 0} \frac{1-\cos 4x}{x} = 0 $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 3
Вычислить предел функции используя эквивалентно малые величины $\lim_\limits {x\to 1} \frac{\sin (x-1)}{x^2-1} $
Решение

Подставив $x=1$ получаем неопределенность $[ \frac{0}{0} ] $. Замечаем, что в числителе присутствует синус, который есть в таблице эквивалентностей. По необходимому условию аргумент синуса должен стремиться к нулю, чтобы применить формулу эквивалентности. Проверим это подставив $x=1$ в него.

$$ \sin (1-1) = \sin 0 = 0 $$

Проверка показала, что формулу можно применить, так как аргумент равен нулю.

$$ \sin (x-1) \sim x-1 $$

$$ \lim_\limits {x\to 1} \frac{\sin (x-1)}{x^2} = \lim_\limits {x\to 1} \frac{x-1}{x^2-1} = $$

Применяя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ для знаменателя упрощаем его.

$$ = \lim_\limits {x\to 1} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \lim_\limits {x\to 1} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{2} $$

Ответ
$$ \lim_\limits {x\to 1} \frac{\sin (x-1)}{x^2-1} = \frac{1}{2} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ