Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов

Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам. Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Векторное произведение векторов

Определение

Определение

Векторным произведением векторов и является вектор , который расположен перпендикулярно к плоскости, образуемой векторами и . Само произведение обозначается как , либо .

 

векторное произведение векторов

Векторное произведение векторов, формула которого зависит от исходных данных задачи, можно найти двумя способами.

Формула

Формула 1

Если известен синус угла между векторами и , то найти векторное произведение векторов можно по формуле:

Формула 2

В случае когда векторы и заданы в координатной форме, то их произведение определяется по формуле:

где векторы называются единичными векторами соответствующих осей .

Определитель во второй формуле можно раскрыть по первой строке:

Итого вторая формула приобретает окончательный короткий вид:

Свойства

  1. При изменении порядка множителей меняется знак на противоположный:
  2. Вынос константы за знак произведения:
Решение задач от 20 руб/шт, от 2 часов
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб, от 4 часов
подробное написание

Примеры решений

Пример 1

Найти векторное произведение векторов, заданных координатами

Решение

Составляем определитель, первая строка которого состоит из единичных векторов, а вторая и третья из координат векторов и :

Полученный ответ можно записать в удобном виде:

Ответ

Геометрический смысл

  • Модуль векторного произведения векторов и в геометрическом смысле равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах:
  • Половина этого модуля это площадь треугольника:
  • Если векторное произведение равно нулю , то векторы коллинеарны.

Решение задач от 20 руб/шт, от 2 часов
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб, от 4 часов
подробное написание
 

    Пример 2
    Найти площадь треугольника по заданным векторам
    Решение

    Используя геометрический смысл, в частности вторую формулу находим половину модуля векторного произведения векторов.

    Находим определитель:

    Вычисляем модуль полученного вектора как корень квадратный из суммы квадратов координат этого вектора:

    По формуле нахождения площади треугольника имеем:

    Ответ

    Нужно подробное решение своих задач?

    ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ