Длина вектора

Длина вектора $ \overline{a}$ обозначается как $ |\overline{a}| $. Чтобы найти длину вектора по его координатам существует две формулы в зависимости от расположения вектора: на плоскости $ \overline{a}=(a_x;a_y) $ или в пространстве $ \overline{a} = (a_x; a_y; a_z) $.

Формула на плоскости:

$$ |\overline{a}| = \sqrt{a_x ^2 + a_y ^2} $$

Формула в пространстве:

$$ |\overline{a}| = \sqrt{a_x ^2 + a_y ^2 + a_z ^2 } $$

Если даны координаты точек начала и конца вектора $ A(a_x; a_y) $ и $ B(b_x; b_y) $, то найти длину можно по формулам:

$$ |\overline{AB}| = \sqrt{(a_x-b_x)^2 + (a_y-b_y) ^2} $$

$$ |\overline{AB}| = \sqrt{(a_x-b_x)^2 + (a_y-b_y)^2+ (a_z-b_z)^2} $$

Следует заметить, что существуют аналогичные формулы для пространств больше, чем трёхмерные.

Пример 1
Найти длину вектора по координатам $ \overline{a} = (4;-3) $
Решение
Разберем вектор. Первая координата $ a_x = 4 $, а вторая координата $ a_y=-3 $. Так как даны две координаты, то делаем вывод, что задача плоская. Необходимо применить первую формулу. Подставляем в неё значения из условия задачи: $$\|\overline{a}\| = \sqrt{4^2+(-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
Длина вектора $\|\overline{a}\| = 5 $

Пример 2
Определить длину вектора по координатам точек $ \overline{a}=(4;2;4) $
Решение
Сразу замечаем, что дана пространственная задача. А именно $ a_x=4, a_y=2, a_z=4 $. Для нахождения длины вектора используем вторую формулу. Подставляем неизвестные в неё: $\|\overline{a}\|=\sqrt{4^2+2^2+4^2}=\sqrt{36}=6 $
Ответ
Длина вектора $\|\overline{a}\|=6 $

Пример 3
Найти длину вектора, если известны координаты его начала и конца. $ A=(2;1), B=(-1;3) $
Решение
Задача дана плоская судя по наличию только двух координат у векторов. Но даны на этот раз начало и конец вектора. Поэтому сначала находим координаты вектора $ \overline{AB} $, а только потом его длину по формуле координат: $ \overline{AB}=(b_x-a_x;b_y-a_y)=(-1-2;3-1)=(-3;2) $ Теперь когда координаты вектора $ \overline{AB} $ стали известны можно использовать привычную формулу: $\|\overline{AB}\|=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13} $
Ответ
$\|\overline{AB}\|=\sqrt{13} $

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Рекомендуем изучить по этой теме