Угол между двумя плоскостями

Пусть заданы уравнениями две плоскости $$A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$$ $$A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$$

Запишем нормальные векторы этих плоскостей, каждая координата которых равна соответствующим коэффициентам в уравнениях плоскостей $$\overline{n}_1 = (A_1,B_1,C_1)$$$$\overline{n}_2 = (A_2,B_2,C_2)$$

Угол между плоскостями – это угол между двумя нормальными векторами этих плоскостей, вычисляемый по формуле: $$\cos \varphi = \frac{(\overline{n}_1,\overline{n}_2)}{|\overline{n}_2| \cdot |\overline{n}_2|}$$

В числителе формулы стоит скалярное произведение векторов, вычисляемое путем суммирования произведений соответствующих координат

$$(\overline{n}_1,\overline{n}_2) = A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 + C_1 \cdot C_2$$

В знаменателе расположено произведение длин векторов, вычисляемых извлечением квадратного корня из суммы квадратов соответствующих координат векторов

$$|\overline{n}_1| = \sqrt{A_1 ^2 + B_1 ^2 + C_1 ^2}$$

$$|\overline{n}_2| = \sqrt{A_2 ^2 + B_2 ^2 + C_2 ^2}$$

Вычисляем скалярное произведение нормальных векторов $(\overline{n}_1,\overline{n}_2)$
Находим произведение модулей нормальных векторов $ |\overline{n}_1| \cdot |\overline{n}_2| $
Подставляем найденные значения в формулу косинуса угла между плоскостями $ \cos \varphi $

Решение задач от 20 руб подробное решение Контрольные работы от 200 руб подробное решение

Пример 1
Найти угол между плоскостями $3x-y+3=0$ и $x-2y+5z-10=0$
Решение
Записываем нормальные векторы каждой из плоскостей. В качестве координат векторов подставляем коэффициенты из уравнений плоскостей $$ \overline{n}_1 = (3,-1,0) $$ $$ \overline{n}_2 = (1,-2,5) $$ Вычисляем скалярное произведение, полученных векторов $\overline{n}_1$ и $ \overline{n}_2$. Выполняем сложение произведений соответствующих координат $$(\overline{n}_1,\overline{n}_2) = 3\cdot 1 + (-1)\cdot (-2) + 0\cdot 5 = 5$$ Находим модули каждого из векторов. Извлекаем квадратный корень из суммы квадратов соответствующих координат $$\|\overline{n}_1\| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{10}$$ $$\|\overline{n}_2\| = \sqrt{1^2+(-2)^2+5^2} = \sqrt{30}$$ Подставляем полученные значения в формулу нахождения угла между плоскостями $$\cos \varphi = \frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{30}} = \frac{1}{\sqrt{12}}$$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$\varphi = \arccos\frac{1}{\sqrt{12}}$$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Рекомендуем изучить по этой теме