Скалярное произведение векторов

Пусть даны два вектора $ \overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ \overline{b} = (b_x; b_y) $. Для того, чтобы найти скалярное произведение двух векторов необходимо воспользоваться формулой: $$ (\overline{a},\overline{b}) = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y $$ Стоит заметить, что скалярное произведение записывается в скобках, в которых векторы записываются через запятую. Данное обозначение широко применяется в математике и его нужно запомнить.

Если в задаче векторы заданы тремя координатами (в пространстве), то вычислить скалярное произведение векторов нужно по другой формуле, основанной на предыдущей. Но с тем же смыслом: $$ (\overline{a},\overline{b}) = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z $$

По сути скалярное произведение – это сумма произведений соответствующих координат данных векторов. Первая координата умножается на первую, вторая на вторую и затем произведения суммируются.

Пример 1
Найти скалярное произведение векторов по координатам $ \overline{a} = (-1;2) $ и $ \overline{b} = (2;1) $
Решение
В данном примере векторы заданы двумя координатами, поэтому применяем первую формулу для плоской задачи. Умножаем соответствующие координаты, а потом складываем их: $$ (\overline{a},\overline{b}) = -1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = -2 + 2 = 0 $$ Произведение получилось равным нулю, а это кстати означает, что векторы оказались ортогональными (перпендикулярными) друг к другу. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ (\overline{a},\overline{b}) = 0 $$

Пример 2
В пространстве заданы начала и концы векторов: $$ A = (1;3;-2), B = (-1;4;1), C = (2; 1; -2) $$ Требуется найти скалярное произведение векторов $ \overline{AB} $ и $ \overline{AC} $.
Решение
В примеры решения данной задачи даны только точки и сразу вычислить произведение векторов не представляется возможным. Сначала нужно найти сами векторы $ \overline{AB} $ и $ \overline{AC} $. Вычисляются они с помощью разности соответствующих координат точек (из конца вычитается начало вектора): $$ \overline{AB} = (-1 - 1; 4-3; 1-(-2)) = (-2; 1; 3) $$ $$ \overline{AC} = (2 - 1; 1 - 3; -2 - (-2)) = (1; -2; 0) $$ Теперь, когда необходимые векторы найдены, то находим скалярное произведение векторов по их координатам: $$ (\overline{AB},\overline{AC}) = -2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 3 \cdot 0 = -2-2+0 = -4 $$
Ответ
$$ (\overline{AB},\overline{AC}) = -4 $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Рекомендуем изучить по этой теме