Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Не решается своя задача?
Заказать решение

Разложение вектора по векторам

Формула

Пусть есть вектор $ \overline{x} $ и векторы $ \overline{p}, \overline{q}, \overline{r} $. Как разложить вектор $ \overline{x} $ по векторам $ \overline{p}, \overline{q}, \overline{r} $ ? 

Достаточно представить вектор $ \overline{x} $ в виде линейной комбинации:

$$ \overline{x} = \alpha \overline{p} + \beta \overline{q} + \gamma \overline{r} $$

В координатной форме эта запись выглядит так:

$$ \begin{cases} x= \alpha p_x + \beta q_x + \gamma r_x \\ y=\alpha p_y + \beta q_y + \gamma r_y \\ z = \alpha p_z + \beta q_z + \gamma r_z \end{cases} $$

Суть разложения в том, что необходимо найти коэффициенты $ \alpha, \beta, \gamma $ такие, чтобы выполнялись три равенства из системы одновременно

Примеры решения

Пример
Разложить вектор $ \overline{x} = (10,3,3) $ по векторам $ \overline{p} = (2,3,1) $, $ \overline{q} = (3,7,2) $, $ \overline{r} = (5,4,2) $
Решение

Составим систему линейных уравнений, используя векторы из условия задачи:

$$ \begin{cases} 10= 2\alpha + 3 \beta + 5 \gamma \\ 3=3 \alpha + 7 \beta + 4 \gamma \\ 3 = 1 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma \end{cases} $$

Запишем систему в привычном виде:

$$ \begin{cases} 2\alpha + 3 \beta + 5 \gamma = 10 \\ 3 \alpha + 7 \beta + 4 \gamma = 3 \\ \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = 3 \end{cases} $$

Решив систему уравнений любым методом, найдем неизвестные $ \alpha, \beta, \gamma $. К примеру, возьмём метод Крамера.

Найдем главный определитель:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 3 & 7 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = $$

$$ = 2 \cdot 7 \cdot 2 + 3 \cdot 4 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 5 - 5 \cdot 7 \cdot 1 - 4 \cdot 2 \cdot 2 - 3 \cdot 3 \cdot 2 = $$

$$ = 28 + 12 + 30 - 35 - 16 - 18 = 1 $$

Так как $ \Delta = 1 $ не равно нулю, то СЛАУ имеет единственное решение.

Вычислим дополнительные определители составленные из столбцов главного путём поочередной замены одного из столбцов на свободные члены системы:

$$ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 10 & 3 & 5 \\ 3 & 7 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \end{vmatrix} = $$

$$ = 10 \cdot 7 \cdot 2 + 3 \cdot 4 \cdot 3 + 3 \cdot 2 \cdot 5 - 5 \cdot 7 \cdot 3 - 4 \cdot 2 \cdot 10 - 3 \cdot 3 \cdot 2 = $$

$$ = 140 + 36 + 30 - 105 - 80 - 18 = 3 $$

$$ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 10 & 5 \\ 3 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = $$

$$ = 2 \cdot 3 \cdot 2 + 10 \cdot 4 \cdot 1 + 3 \cdot 3 \cdot 5 - 5 \cdot 3 \cdot 1 - 4 \cdot 3 \cdot 2 - 10 \cdot 3 \cdot 2 = $$

$$ = 12 + 40 + 45 - 15 - 24 - 60 = -2 $$

$$ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 10 \\ 3 & 7 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = $$

$$ = 2 \cdot 7 \cdot 3 + 3 \cdot 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 10 - 10 \cdot 7 \cdot 1 - 3 \cdot 2 \cdot 2 - 3 \cdot 3 \cdot 3 = $$

$$ = 42 + 9 + 60 - 70 - 12 - 27 = 2 $$

Теперь вычислим коэффициенты $ \alpha, \beta, \gamma $:

$$ \alpha = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{3}{1} = 3 $$

$$ \beta = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-2}{1} = -2 $$

$$ \gamma = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{2}{1} = 2 $$

Зная постоянные $ \alpha, \beta, \gamma $, запишем разложение вектора $ \overline{x} $ по векторам $ \overline{p}, \overline{q}, \overline{r} $:

$$ \overline{x} = 3\overline{p} - 2\overline{q} + 2\overline{r} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \overline{x} = 3\overline{p} - 2\overline{q} + 2\overline{r} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ
Добро пожаловать!

Благодарим за посещение нашего ресурса.