Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Разложение вектора по векторам

Формула

Пусть есть вектор $ \overline{x} $ и векторы $ \overline{p}, \overline{q}, \overline{r} $. Как разложить вектор $ \overline{x} $ по векторам $ \overline{p}, \overline{q}, \overline{r} $ ? 

Достаточно представить вектор $ \overline{x} $ в виде линейной комбинации:

$$ \overline{x} = \alpha \overline{p} + \beta \overline{q} + \gamma \overline{r} $$

В координатной форме эта запись выглядит так:

$$ \begin{cases} x= \alpha p_x + \beta q_x + \gamma r_x \\ y=\alpha p_y + \beta q_y + \gamma r_y \\ z = \alpha p_z + \beta q_z + \gamma r_z \end{cases} $$

Суть разложения в том, что необходимо найти коэффициенты $ \alpha, \beta, \gamma $ такие, чтобы выполнялись три равенства из системы одновременно

Примеры решения

Пример
Разложить вектор $ \overline{x} = (10,3,3) $ по векторам $ \overline{p} = (2,3,1) $, $ \overline{q} = (3,7,2) $, $ \overline{r} = (5,4,2) $
Решение

Составим систему линейных уравнений, используя векторы из условия задачи:

$$ \begin{cases} 10= 2\alpha + 3 \beta + 5 \gamma \\ 3=3 \alpha + 7 \beta + 4 \gamma \\ 3 = 1 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma \end{cases} $$

Запишем систему в привычном виде:

$$ \begin{cases} 2\alpha + 3 \beta + 5 \gamma = 10 \\ 3 \alpha + 7 \beta + 4 \gamma = 3 \\ \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = 3 \end{cases} $$

Решив систему уравнений любым методом, найдем неизвестные $ \alpha, \beta, \gamma $. К примеру, возьмём метод Крамера.

Найдем главный определитель:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 3 & 7 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = $$

$$ = 2 \cdot 7 \cdot 2 + 3 \cdot 4 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 5 - 5 \cdot 7 \cdot 1 - 4 \cdot 2 \cdot 2 - 3 \cdot 3 \cdot 2 = $$

$$ = 28 + 12 + 30 - 35 - 16 - 18 = 1 $$

Так как $ \Delta = 1 $ не равно нулю, то СЛАУ имеет единственное решение.

Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание

Вычислим дополнительные определители составленные из столбцов главного путём поочередной замены одного из столбцов на свободные члены системы:

$$ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 10 & 3 & 5 \\ 3 & 7 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \end{vmatrix} = $$

$$ = 10 \cdot 7 \cdot 2 + 3 \cdot 4 \cdot 3 + 3 \cdot 2 \cdot 5 - 5 \cdot 7 \cdot 3 - 4 \cdot 2 \cdot 10 - 3 \cdot 3 \cdot 2 = $$

$$ = 140 + 36 + 30 - 105 - 80 - 18 = 3 $$

$$ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 10 & 5 \\ 3 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = $$

$$ = 2 \cdot 3 \cdot 2 + 10 \cdot 4 \cdot 1 + 3 \cdot 3 \cdot 5 - 5 \cdot 3 \cdot 1 - 4 \cdot 3 \cdot 2 - 10 \cdot 3 \cdot 2 = $$

$$ = 12 + 40 + 45 - 15 - 24 - 60 = -2 $$

$$ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 10 \\ 3 & 7 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = $$

$$ = 2 \cdot 7 \cdot 3 + 3 \cdot 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 10 - 10 \cdot 7 \cdot 1 - 3 \cdot 2 \cdot 2 - 3 \cdot 3 \cdot 3 = $$

$$ = 42 + 9 + 60 - 70 - 12 - 27 = 2 $$

Теперь вычислим коэффициенты $ \alpha, \beta, \gamma $:

$$ \alpha = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{3}{1} = 3 $$

$$ \beta = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-2}{1} = -2 $$

$$ \gamma = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{2}{1} = 2 $$

Зная постоянные $ \alpha, \beta, \gamma $, запишем разложение вектора $ \overline{x} $ по векторам $ \overline{p}, \overline{q}, \overline{r} $:

$$ \overline{x} = 3\overline{p} - 2\overline{q} + 2\overline{r} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \overline{x} = 3\overline{p} - 2\overline{q} + 2\overline{r} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ