Угол между векторами

Иногда студенты при решении задач аналитической геометрии сталкиваются с вопросом: «Как найти угол между векторами?». Чтобы решить такую задачу нужно сначала найти косинус угла между ними, а затем и сам угол. Для этого применяется такая формула: $$ \phi = \arccos(\cos \phi) $$

Если воспользоваться данной формулой, то сначала нужно найти угол между векторами $ \cos \phi $. Затем находим арккосинус от косинуса угла $ \phi $. А чему равен $ \cos \phi $? Для его нахождения необходимо воспользоваться следующими формулами.

Формула

Если векторы расположены на плоскости и координаты их заданы в виде: $ \overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ \overline{b} = (b_x; b_y) $, то найти угол между ними можно так:

$$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}| \cdot |\overline{b}|} = \frac{a_x\cdot b_x + a_y \cdot b_y}{\sqrt{a_x ^2 + a_y ^2}\cdot \sqrt{b_x ^2 + b_y ^2}} $$

Если вектора находятся в пространстве и координаты каждого из них заданы в виде: $ \overline{a} = (a_x; a_y; a_z) $ и $ \overline{b} = (b_x; b_y; b_z) $, то вычислить косинус угла следует по формуле:

$$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}| \cdot |\overline{b}|} = \frac{a_x\cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z}{\sqrt{a_x ^2 + a_y ^2 + a_z ^2}\cdot \sqrt{b_x ^2 + b_y ^2 + b_z ^2}} $$

Пояснение. В числителе расположено скалярное произведение векторов $ \overline{a} $ и $ \overline{b} $. Оно равно сумме произведений соответствующих координат. В знаменателе перемножаются модули (длины) векторов.

Примеры решений