Как найти угол между векторами?

Иногда студенты при решении задач аналитической геометрии сталкиваются с вопросом: «Как найти угол между векторами?». Чтобы решить такую задачу нужно сначала найти косинус угла между ними, а затем и сам угол. Для этого применяется такая формула:

Если воспользоваться данной формулой, то сначала нужно найти угол между векторами . Затем находим арккосинус от косинуса угла . А чему равен ? Для его нахождения необходимо воспользоваться следующими формулами.

Формула косинуса угла между векторами

Если векторы расположены на плоскости и координаты их заданы в виде: и , то найти угол между ними можно так:

Если вектора находятся в пространстве и координаты каждого из них заданы в виде: и , то вычислить косинус угла следует по формуле:

Пояснение. В числителе расположено скалярное произведение векторов и . Оно равно сумме произведений соответствующих координат. В знаменателе перемножаются модули (длины) векторов.

Примеры нахождения угла между векторами

Пример 1
Найти угол между векторами и
Решение

Сначала находим косинус угла между векторами по формуле:

Теперь искомый угол находим по другой формуле:

Ответ
Угол между двумя векторами равен
Пример 2
Найти угол между двумя векторами и
Решение

Подставляем координаты в формулу и вычисляем:

Далее находим сам угол с помощью арккосинуса:

Ответ
Угол

Не получается решить свою задачу?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ