Как найти косинус угла между векторами
Чтобы определить угол между двумя векторами, нужно сначала найти косинус угла между ними. Затем вычисляется угол по формуле: $$ \phi = \arccos(\cos \phi) $$
Если векторы заданы на плоскости двумя координатами $ \overline{a}=(x_1;y_1) $ и $ \overline{b}=(x_2;y_2) $, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:
$$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}|\cdot |\overline{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1 ^2 + y_1 ^2}\cdot \sqrt{x_2 ^2 + y_2 ^2}} $$
Если векторы будут заданы тремя координатами $ \overline{a}=(x_1;y_1;z_1) $ и $ \overline{b}=(x_2;y_2;z_2) $, то есть в пространстве, то найти косинус угла между векторами можно по формуле:
$$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}|\cdot |\overline{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1 ^2 + y_1 ^2 +z_1 ^2}\cdot \sqrt{x_2 ^2 + y_2 ^2 + z_2 ^2}} $$
В числителе находится скалярное произведение векторов, то есть каждая координата умножается на соответствующую координату другого вектора и при этом находится сумма всех произведений. А в знаменателе расположено произведение модулей векторов. Каждый модуль равен извлеченному квадратному корню из суммы квадратов координат вектора.
| Пример 1 |
|
Найти угол между векторами по координатам $ \overline{a} = (2;4) $ и $ \overline{b} = (3;1) $ |
| Решение |
|
Сначала находим косинус угла между двумя векторами по формуле: $$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}| \cdot |\overline{b}|} = \frac{2\cdot 3 + 4 \cdot 1}{\sqrt{2^2 + 4^2} \cdot \sqrt{3^2 + 1^2} } = \frac{10}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} = $$ $$ = \frac{10}{\sqrt{200}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Теперь искомый угол $ \phi $ находим по другой формуле: $$ \phi = \arccos (\cos \phi) = \arccos (\cos \frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^0 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| Угол между двумя векторами равен $ \phi = 45^0 $ |
| Пример 2 |
| Найти угол между двумя векторами $ \overline{a} = (8;-11;7) $ и $ \overline{b} = (-2;-7;8) $ |
| Решение |
|
Подставляем координаты в формулу и вычисляем: $$ \cos \phi = \frac{8\cdot (-2) + (-11)\cdot (-7) + 7\cdot 8}{\sqrt{8^2+(-11)^2+7^2} \cdot \sqrt{(-2)^2+(-7)^2+8^2} } = $$ $$ = \frac{-16+77+56}{\sqrt{234} \cdot \sqrt{117}} = \frac{117}{\sqrt{234} \cdot \sqrt{117}} = $$ $$ = \frac{\sqrt{117}}{\sqrt{234}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Далее находим сам угол $ \phi $ с помощью арккосинуса: $$ \phi = \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = 45^0 $$ |
| Ответ |
| Угол $ \phi = 45^0 $ |
| Пример 3 |
| Требуется найти косинус угла между векторами $ \overline{a} =(3;1) $ и $ \overline{b} = (2;4) $. |
| Решение |
|
Первым делом необходимо определить на плоскости или в пространстве находятся векторы, то есть сколько у них координат. Затем воспользоваться подходящей формулой. Вычисляем скалярное произведение: каждую координату одного вектора умножаем на соответствующую координату другого вектора, а потом суммируем произведения: $$ (\overline{a},\overline{b}) = 3\cdot 2 + 1 \cdot 4 = 6+4=10 $$ Далее находим чему равны модули каждого из векторов: $$ |\overline{a}|=\sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10} $$ $$ |\overline{b}|=\sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} $$ Теперь можно найти косинус угла между векторами подставив найденные значения в первую формулу: $$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}|\cdot |\overline{b}|} = \frac{10}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{20}} = $$ $$ = \frac{10}{\sqrt{200}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \cos \phi = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ |