Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Угол между векторами

Иногда студенты при решении задач аналитической геометрии сталкиваются с вопросом: «Как найти угол между векторами?». Чтобы решить такую задачу нужно сначала найти косинус угла между ними, а затем и сам угол. Для этого применяется такая формула: $$ \phi = \arccos(\cos \phi) $$

Если воспользоваться данной формулой, то сначала нужно найти угол между векторами $ \cos \phi $. Затем находим арккосинус от косинуса угла $ \phi $. А чему равен $ \cos \phi $? Для его нахождения необходимо воспользоваться следующими формулами.

Формула

Если векторы расположены на плоскости и координаты их заданы в виде: $ \overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ \overline{b} = (b_x; b_y) $, то найти угол между ними можно так:

$$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}| \cdot |\overline{b}|} = \frac{a_x\cdot b_x + a_y \cdot b_y}{\sqrt{a_x ^2 + a_y ^2}\cdot \sqrt{b_x ^2 + b_y ^2}} $$

Если вектора находятся в пространстве и координаты каждого из них заданы в виде: $ \overline{a} = (a_x; a_y; a_z) $ и $ \overline{b} = (b_x; b_y; b_z) $, то вычислить косинус угла следует по формуле:

$$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}| \cdot |\overline{b}|} = \frac{a_x\cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z}{\sqrt{a_x ^2 + a_y ^2 + a_z ^2}\cdot \sqrt{b_x ^2 + b_y ^2 + b_z ^2}} $$

Пояснение. В числителе расположено скалярное произведение векторов $ \overline{a} $ и $ \overline{b} $. Оно равно сумме произведений соответствующих координат. В знаменателе перемножаются модули (длины) векторов.

Примеры решений

Пример 1
Найти угол между векторами $ \overline{a} = (2;4) $ и $ \overline{b} = (3;1) $
Решение

Сначала находим косинус угла между векторами по формуле:

$$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}| \cdot |\overline{b}|} = \frac{2\cdot 3 + 4 \cdot 1}{\sqrt{2^2 + 4^2} \cdot \sqrt{3^2 + 1^2} } = \frac{10}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} = $$

$$ = \frac{10}{\sqrt{200}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Теперь искомый угол $ \phi $ находим по другой формуле:

$$ \phi = \arccos (\cos \phi) = \arccos (\cos \frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^0 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
Угол между двумя векторами равен $ \phi = 45^0 $
Пример 2
Найти угол $ \phi $ между двумя векторами $ \overline{a} = (8;-11;7) $ и $ \overline{b} = (-2;-7;8) $
Решение

Подставляем координаты в формулу и вычисляем:

$$ \cos \phi = \frac{8\cdot (-2) + (-11)\cdot (-7) + 7\cdot 8}{\sqrt{8^2+(-11)^2+7^2} \cdot \sqrt{(-2)^2+(-7)^2+8^2} } = $$

$$ = \frac{-16+77+56}{\sqrt{234} \cdot \sqrt{117}} = \frac{117}{\sqrt{234} \cdot \sqrt{117}} = $$

$$ = \frac{\sqrt{117}}{\sqrt{234}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Далее находим сам угол $ \phi $ с помощью арккосинуса:

$$ \phi = \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = 45^0 $$

Ответ
Угол $ \phi = 45^0 $

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ