Угол между векторами
Иногда студенты при решении задач аналитической геометрии сталкиваются с вопросом: «Как найти угол между векторами?». Чтобы решить такую задачу нужно сначала найти косинус угла между ними, а затем и сам угол. Для этого применяется такая формула: $$ \phi = \arccos(\cos \phi) $$
Если воспользоваться данной формулой, то сначала нужно найти угол между векторами $ \cos \phi $. Затем находим арккосинус от косинуса угла $ \phi $. А чему равен $ \cos \phi $? Для его нахождения необходимо воспользоваться следующими формулами.
Формула
Если векторы расположены на плоскости и координаты их заданы в виде: $ \overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ \overline{b} = (b_x; b_y) $, то найти угол между ними можно так:
$$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}| \cdot |\overline{b}|} = \frac{a_x\cdot b_x + a_y \cdot b_y}{\sqrt{a_x ^2 + a_y ^2}\cdot \sqrt{b_x ^2 + b_y ^2}} $$
Если вектора находятся в пространстве и координаты каждого из них заданы в виде: $ \overline{a} = (a_x; a_y; a_z) $ и $ \overline{b} = (b_x; b_y; b_z) $, то вычислить косинус угла следует по формуле:
$$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}| \cdot |\overline{b}|} = \frac{a_x\cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z}{\sqrt{a_x ^2 + a_y ^2 + a_z ^2}\cdot \sqrt{b_x ^2 + b_y ^2 + b_z ^2}} $$
Пояснение. В числителе расположено скалярное произведение векторов $ \overline{a} $ и $ \overline{b} $. Оно равно сумме произведений соответствующих координат. В знаменателе перемножаются модули (длины) векторов.
Примеры решений
Пример 1 |
Найти угол между векторами $ \overline{a} = (2;4) $ и $ \overline{b} = (3;1) $ |
Решение |
Сначала находим косинус угла между векторами по формуле: $$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}| \cdot |\overline{b}|} = \frac{2\cdot 3 + 4 \cdot 1}{\sqrt{2^2 + 4^2} \cdot \sqrt{3^2 + 1^2} } = \frac{10}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} = $$ $$ = \frac{10}{\sqrt{200}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Теперь искомый угол $ \phi $ находим по другой формуле: $$ \phi = \arccos (\cos \phi) = \arccos (\cos \frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^0 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
Угол между двумя векторами равен $ \phi = 45^0 $ |
Пример 2 |
Найти угол $ \phi $ между двумя векторами $ \overline{a} = (8;-11;7) $ и $ \overline{b} = (-2;-7;8) $ |
Решение |
Подставляем координаты в формулу и вычисляем: $$ \cos \phi = \frac{8\cdot (-2) + (-11)\cdot (-7) + 7\cdot 8}{\sqrt{8^2+(-11)^2+7^2} \cdot \sqrt{(-2)^2+(-7)^2+8^2} } = $$ $$ = \frac{-16+77+56}{\sqrt{234} \cdot \sqrt{117}} = \frac{117}{\sqrt{234} \cdot \sqrt{117}} = $$ $$ = \frac{\sqrt{117}}{\sqrt{234}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Далее находим сам угол $ \phi $ с помощью арккосинуса: $$ \phi = \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = 45^0 $$ |
Ответ |
Угол $ \phi = 45^0 $ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ- Проекция вектора на вектор
- Координаты вектора по двум точкам
- Модуль вектора
- Скалярное произведение векторов
- Длина вектора
- Косинус угла между векторами
- Площадь параллелограмма построенного на векторах
- Сложение векторов
- Разложение вектора по векторам
- Угол между плоскостями
- Середина вектора
- Расстояние между двумя точками на плоскости
- Векторное произведение
- Перпендикулярность векторов