Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Не решается своя задача?
Заказать решение

Угол между векторами

Чтобы определить угол между двумя векторами, нужно сначала найти косинус угла между ними. Затем вычисляется угол по формуле: $$ \phi = \arccos(\cos \phi) $$

Если векторы заданы на плоскости двумя координатами $ \overline{a}=(x_1;y_1) $ и $ \overline{b}=(x_2;y_2) $, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:

$$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}|\cdot |\overline{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1 ^2 + y_1 ^2}\cdot \sqrt{x_2 ^2 + y_2 ^2}} $$

Если векторы будут заданы тремя координатами $ \overline{a}=(x_1;y_1;z_1) $ и $ \overline{b}=(x_2;y_2;z_2) $, то есть в пространстве, то нахождение косинуса угла между векторами нужно выполнить по формуле:

$$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}|\cdot |\overline{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1 ^2 + y_1 ^2 +z_1 ^2}\cdot \sqrt{x_2 ^2 + y_2 ^2 + z_2 ^2}} $$

В числителе находится скалярное произведение векторов, то есть каждая координата умножается на соответствующую координату другого вектора и при этом находится сумма всех произведений. А в знаменателе расположено произведение модулей векторов. Каждый модуль равен извлеченному квадратному корню из суммы квадратов координат вектора.

Пример 1
Найти угол между векторами по координатам $ \overline{a} = (2;4) $ и $ \overline{b} = (3;1) $
Решение

Сначала находим косинус угла между двумя векторами по формуле:

$$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}| \cdot |\overline{b}|} = \frac{2\cdot 3 + 4 \cdot 1}{\sqrt{2^2 + 4^2} \cdot \sqrt{3^2 + 1^2} } = \frac{10}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} = $$

$$ = \frac{10}{\sqrt{200}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Теперь искомый угол $ \phi $ находим по другой формуле:

$$ \phi = \arccos (\cos \phi) = \arccos (\cos \frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^0 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
Угол между двумя векторами равен $ \phi = 45^0 $
Пример 2
Найти угол между двумя векторами $ \overline{a} = (8;-11;7) $ и $ \overline{b} = (-2;-7;8) $
Решение

Подставляем координаты в формулу и вычисляем:

$$ \cos \phi = \frac{8\cdot (-2) + (-11)\cdot (-7) + 7\cdot 8}{\sqrt{8^2+(-11)^2+7^2} \cdot \sqrt{(-2)^2+(-7)^2+8^2} } = $$

$$ = \frac{-16+77+56}{\sqrt{234} \cdot \sqrt{117}} = \frac{117}{\sqrt{234} \cdot \sqrt{117}} = $$

$$ = \frac{\sqrt{117}}{\sqrt{234}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Далее находим сам угол $ \phi $ с помощью арккосинуса:

$$ \phi = \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = 45^0 $$

Ответ
Угол $ \phi = 45^0 $
Пример 3
Даны два вектора $ \overline{a} =(3;1) $ и $ \overline{b} = (2;4) $. Требуется найти косинус угла между векторами.
Решение

Напомним как найти косинус угла между векторами. Необходимо определить на плоскости или в пространстве находятся векторы, то есть сколько у них координат. Затем воспользоваться подходящей формулой.

Первым делом вычисляем скалярное произведение: каждую координату одного вектора умножаем на соответствующую координату другого вектора, а потом суммируем произведения:

$$ (\overline{a},\overline{b}) = 3\cdot 2 + 1 \cdot 4 = 6+4=10 $$

Далее находим чему равны модули каждого из векторов:

$$ |\overline{a}|=\sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10} $$

$$ |\overline{b}|=\sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} $$

Теперь можно найти косинус угла между векторами подставив найденные значения в первую формулу:

$$ \cos \phi = \frac{(\overline{a},\overline{b})}{|\overline{a}|\cdot |\overline{b}|} = \frac{10}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{20}} = $$

$$ = \frac{10}{\sqrt{200}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \cos \phi = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ
Добро пожаловать!

Благодарим за посещение нашего ресурса.