Площадь параллелограмма, построенного на векторах

Чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах нужно вычислить модуль векторного произведения этих векторов.

Пусть заданы два вектора $ \overline{a} = \alpha_1 \overline{p} + \alpha_2 \overline{q} $ и $ \overline{b} = \beta_1 \overline{p} + \beta_2 \overline{q} $, синус угла между ними $ \sin \varphi $ и длины векторов $ |\overline{p}|, |\overline{q}| $. Тогда формула записывается следующим образом:

$$ S = \Big | [\overline{a}, \overline{b}] \Big | = |\alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1| \cdot |\overline{p}| \cdot |\overline{q}| \cdot \sin \varphi $$

Пример 1
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: $ \overline{a} = \overline{p}+3\overline{q} $ и $ \overline{b} = 2\overline{p} - \overline{q} $, длины которых равны $ \|\overline{p}\|=2, \|\overline{q}\| = 1 $, а угол между ними $ \varphi = \frac{\pi}{6} $
Решение
Вычисляем векторное произведение векторов: $$ [\overline{a},\overline{b}] = [\overline{p}+3\overline{q}, 2\overline{p}-\overline{q}] = $$ Выполняем поэлементное перемножение каждого из слагаемых: $$ = 2[\overline{p},\overline{p}] - [\overline{p},\overline{q}] + 6 [\overline{q},\overline{p}] - 3[\overline{q}, \overline{q}] = $$ Учитывая свойства векторного произведения, такие как $ [\overline{p},\overline{p}]=0, [\overline{q},\overline{q}]=0 $, $ [\overline{q},\overline{p}]=-[\overline{p},\overline{q}] $ выполняем упрощение последнего полученного выражения: $$ = 2 \cdot 0 - [\overline{p},\overline{q}] - 6 [\overline{p},\overline{q}] - 3 \cdot 0 = -7 [\overline{p},\overline{q}] $$ Находим модуль полученного векторного произведения, подставляя из условия задания длины векторов и угол между ними: $$ S = \|-7 [\overline{p},\overline{q}] \| = 7 \|\overline{p}\| \|\overline{q}\| \sin \frac{\pi}{6} = 7 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 7 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ S = 7 $$

Решение задач от 20 руб подробное решение Контрольные работы от 200 руб подробное решение

Пример 2
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: $ \overline{a} = \overline{p}+\overline{q} $ и $ \overline{b} = 2\overline{p}-\overline{q} $, если известны их длины $ \|\overline{p}\| = 2 $, $ \|\overline{q}\| = 3 $ и угол между ними $ \varphi = \frac{\pi}{3} $
Решение
Вычисляем векторное произведение: $$ [\overline{a},\overline{b}] = [\overline{p}+\overline{q}, 2\overline{p}-\overline{q}] = $$ Выполняем попарное умножение слагаемых, из которых состоят векторы: $$ = 2[\overline{p},\overline{p}] - [\overline{p},\overline{q}] + 2 [\overline{q},\overline{p}]-[\overline{q},\overline{q}] = $$ $$ = 2 \cdot 0 - [\overline{p},\overline{q}] - 2[\overline{p},\overline{q}]-0 = -3 [\overline{p},\overline{q}] $$ Берём модуль последнего выражения и подставляем недостающие данные из условия задачи: $$ S = \| [\overline{a},\overline{b}]\| = \|-3 [\overline{p},\overline{q}]\| = 3\cdot \|\overline{p}\| \|\overline{q}\| \sin \varphi = $$ $$ = 3 \cdot 2 \cdot 3 \sin \frac{\pi}{3} =18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} $$
Ответ
$$ S = 9\sqrt{3} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Рекомендуем изучить по этой теме