Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах

Чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах нужно вычислить модуль векторного произведения этих векторов.

Пусть заданы два вектора $ \overline{a} = \alpha_1 \overline{p} + \alpha_2 \overline{q} $ и $ \overline{b} = \beta_1 \overline{p} + \beta_2 \overline{q} $, синус угла между ними $ \sin \varphi $ и длины векторов $ |\overline{p}|, |\overline{q}| $. Тогда формула записывается следующим образом:

$$ S = \Big | [\overline{a}, \overline{b}] \Big | = |\alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1| \cdot |\overline{p}| \cdot |\overline{q}| \cdot \sin \varphi $$

Примеры решений

Пример 1
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: $ \overline{a} = \overline{p}+3\overline{q} $ и $ \overline{b} = 2\overline{p} - \overline{q} $, длины которых равны $ |\overline{p}|=2, |\overline{q}| = 1 $, а угол между ними $ \varphi = \frac{\pi}{6} $
Решение

Вычисляем векторное произведение векторов:

$$ [\overline{a},\overline{b}] = [\overline{p}+3\overline{q}, 2\overline{p}-\overline{q}] = $$

Выполняем поэлементное перемножение каждого из слагаемых:

$$ = 2[\overline{p},\overline{p}] - [\overline{p},\overline{q}] + 6 [\overline{q},\overline{p}] - 3[\overline{q}, \overline{q}] = $$

Учитывая свойства векторного произведения, такие как $ [\overline{p},\overline{p}]=0, [\overline{q},\overline{q}]=0 $, $ [\overline{q},\overline{p}]=-[\overline{p},\overline{q}] $ выполняем упрощение последнего полученного выражения:

$$ = 2 \cdot 0 - [\overline{p},\overline{q}] - 6 [\overline{p},\overline{q}] - 3 \cdot 0 = -7 [\overline{p},\overline{q}] $$

Находим модуль полученного векторного произведения, подставляя из условия задания длины векторов и угол между ними:

$$ S = |-7 [\overline{p},\overline{q}] | = 7 |\overline{p}| |\overline{q}| \sin \frac{\pi}{6} = 7 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 7 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ S = 7 $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: $ \overline{a} = \overline{p}+\overline{q} $ и $ \overline{b} = 2\overline{p}-\overline{q} $, если известны их длины $ |\overline{p}| = 2 $, $ |\overline{q}| = 3 $ и угол между ними $ \varphi = \frac{\pi}{3} $
Решение

Вычисляем векторное произведение:

$$ [\overline{a},\overline{b}] = [\overline{p}+\overline{q}, 2\overline{p}-\overline{q}] = $$

Выполняем попарное умножение слагаемых, из которых состоят векторы:

$$ = 2[\overline{p},\overline{p}] - [\overline{p},\overline{q}] + 2 [\overline{q},\overline{p}]-[\overline{q},\overline{q}] = $$ $$ = 2 \cdot 0 - [\overline{p},\overline{q}] - 2[\overline{p},\overline{q}]-0 = -3 [\overline{p},\overline{q}] $$

Берём модуль последнего выражения и подставляем недостающие данные из условия задачи:

$$ S = | [\overline{a},\overline{b}]| = |-3 [\overline{p},\overline{q}]| = 3\cdot |\overline{p}| |\overline{q}| \sin \varphi = $$

$$ = 3 \cdot 2 \cdot 3 \sin \frac{\pi}{3} =18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} $$

Ответ
$$ S = 9\sqrt{3} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ