Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Не решается своя задача?
Заказать решение

Площадь параллелограмма, построенного на векторах

Чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах нужно вычислить модуль векторного произведения этих векторов.

Пусть заданы два вектора $ \overline{a} = \alpha_1 \overline{p} + \alpha_2 \overline{q} $ и $ \overline{b} = \beta_1 \overline{p} + \beta_2 \overline{q} $, синус угла между ними $ \sin \varphi $ и длины векторов $ |\overline{p}|, |\overline{q}| $. Тогда формула записывается следующим образом:

$$ S = \Big | [\overline{a}, \overline{b}] \Big | = |\alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1| \cdot |\overline{p}| \cdot |\overline{q}| \cdot \sin \varphi $$

Примеры решений

Пример 1
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: $ \overline{a} = \overline{p}+3\overline{q} $ и $ \overline{b} = 2\overline{p} - \overline{q} $, длины которых равны $ |\overline{p}|=2, |\overline{q}| = 1 $, а угол между ними $ \varphi = \frac{\pi}{6} $
Решение

Вычисляем векторное произведение векторов:

$$ [\overline{a},\overline{b}] = [\overline{p}+3\overline{q}, 2\overline{p}-\overline{q}] = $$

Выполняем поэлементное перемножение каждого из слагаемых:

$$ = 2[\overline{p},\overline{p}] - [\overline{p},\overline{q}] + 6 [\overline{q},\overline{p}] - 3[\overline{q}, \overline{q}] = $$

Учитывая свойства векторного произведения, такие как $ [\overline{p},\overline{p}]=0, [\overline{q},\overline{q}]=0 $, $ [\overline{q},\overline{p}]=-[\overline{p},\overline{q}] $ выполняем упрощение последнего полученного выражения:

$$ = 2 \cdot 0 - [\overline{p},\overline{q}] - 6 [\overline{p},\overline{q}] - 3 \cdot 0 = -7 [\overline{p},\overline{q}] $$

Находим модуль полученного векторного произведения, подставляя из условия задания длины векторов и угол между ними:

$$ S = |-7 [\overline{p},\overline{q}] | = 7 |\overline{p}| |\overline{q}| \sin \frac{\pi}{6} = 7 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 7 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ S = 7 $$
Пример 2
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: $ \overline{a} = \overline{p}+\overline{q} $ и $ \overline{b} = 2\overline{p}-\overline{q} $, если известны их длины $ |\overline{p}| = 2 $, $ |\overline{q}| = 3 $ и угол между ними $ \varphi = \frac{\pi}{3} $
Решение

Вычисляем векторное произведение:

$$ [\overline{a},\overline{b}] = [\overline{p}+\overline{q}, 2\overline{p}-\overline{q}] = $$

Выполняем попарное умножение слагаемых, из которых состоят векторы:

$$ = 2[\overline{p},\overline{p}] - [\overline{p},\overline{q}] + 2 [\overline{q},\overline{p}]-[\overline{q},\overline{q}] = $$ $$ = 2 \cdot 0 - [\overline{p},\overline{q}] - 2[\overline{p},\overline{q}]-0 = -3 [\overline{p},\overline{q}] $$

Берём модуль последнего выражения и подставляем недостающие данные из условия задачи:

$$ S = | [\overline{a},\overline{b}]| = |-3 [\overline{p},\overline{q}]| = 3\cdot |\overline{p}| |\overline{q}| \sin \varphi = $$

$$ = 3 \cdot 2 \cdot 3 \sin \frac{\pi}{3} =18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} $$

Ответ
$$ S = 9\sqrt{3} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ
Добро пожаловать!

Благодарим за посещение нашего ресурса.