Возведение матрицы в степень
Формула возведения матрицы в степень работает только для квадратных матриц и натуральной степени:$$ A^n = \underbrace{A \cdot A \cdot A \cdot \ldots \cdot A}_{n} $$
Другими словами, для того, чтобы выполнить возведение матрицы в степень $ n $ нужно умножить её саму на себя $ n $ раз.
При возведении в степень матрицу удобно применять свойство: $$ A^{n+m} = A^n \cdot A^m $$
| Пример 1 |
| Возвести матрицу в степень: $$ A = \begin{pmatrix} 2&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}; a) n=2; b) n=4 $$ |
| Решение |
|
a) Возведем сначала в степень $ n = 2 $. По формуле умножаем матрицу саму на себя $ n = 2 $ раза: $$ A^2 = \begin{pmatrix} 2&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 2&1 \\ 1&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2&1 \\ 1&0 \end{pmatrix} = $$ Выполняем умножение двух матриц обычным способом: $$ = \begin{pmatrix} 4+1&2+0 \\ 2+0&1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5&2 \\ 2&1 \end{pmatrix} $$ Итого, получили: $$ A^2 = \begin{pmatrix} 5&2 \\ 2&1 \end{pmatrix} $$ b) Возвести в степень $ n = 4 $ можно аналогично перемножив матрицу $ A $ саму на себя 4 раза. Но это делать не удобно, потому что необходимо выполнить 4 операции умножения. Чтобы облегчить эту задачу используем свойство степени и того останется всего 1 операция умножения. А именно $ A^4 = A^2 \cdot A^2 $ Зная чему равна матрица $ A^2 $ из предыдущего пункта имеем: $$ A^4 = A^2 \cdot A^2 = \begin{pmatrix} 5&2 \\ 2&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5&2 \\ 2&1 \end{pmatrix} = $$ $$ = \begin{pmatrix} 25+4&10+2 \\ 10+2&4+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 29&12 \\ 12&5 \end{pmatrix} $$ Таким образом: $$ A^4 = \begin{pmatrix} 29&12 \\ 12&5 \end{pmatrix} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
|
$$ a) A^2 = \begin{pmatrix} 5&2 \\ 2&1 \end{pmatrix}; b) A^4 = \begin{pmatrix} 29&12 \\ 12&5 \end{pmatrix} $$ |
| Пример 2 |
| Возвести матрицу в степень: $$ A = \begin{pmatrix} 2&0&1 \\ 1&-1&0 \\ 0&3&1 \end{pmatrix} $$ |
| Решение |
|
Пользуемся свойством степеней: $$ A^3 = A^2 \cdot A $$ Возводим сначала матрицу в квадрат: $$ A^2 = \begin{pmatrix} 2&0&1 \\ 1&-1&0 \\ 0&3&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2&0&1 \\ 1&-1&0 \\ 0&3&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4&3&3 \\ 1&1&1 \\ 3&0&1 \end{pmatrix} $$ Теперь используя свойство степени находим третью степень: $$ A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 4&3&3 \\ 1&1&1 \\ 3&0&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2&0&1 \\ 1&-1&0 \\ 0&3&1 \end{pmatrix} = $$ Выполняем умножение двух матриц: $$ = \begin{pmatrix} 8+3+0&0-3+9&4+0+3 \\ 2+1+0&0-1+3&1+0+1 \\ 6+0+0&0+0+3&3+0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11&6&7 \\ 3&2&2 \\ 6&3&4 \end{pmatrix} $$ |
| Ответ |
| $$ A^3 = \begin{pmatrix} 11&6&7 \\ 3&2&2 \\ 6&3&4 \end{pmatrix} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ