Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Единичная матрица

Формула

Единичная матрица - это квадратная матрица, расположенные элементы которой по главной диагонали равны единице, а оставшиеся равны нулю. Обозначается символом $ E $.

Общая формула единичной матрицы имеет вид: $$ E = \begin{pmatrix} 1&0&0&\text{...}&0 \\ 0&1&0&\text{...}&0 \\ 0&0&1&\text{...}&0 \\ \text{...}&\text{...}&\text{...}&\text{...}&\text{...} \\ 0&0&0&\text{...}&1 \end{pmatrix} $$

Свойства

  1. При умножении матрицы на единичную матрицу получается та же самая матрица:
    $$ A \cdot E = E \cdot A = A $$
  2. Любая квадратная матрица в нулевой степени равна единичной матрице:
    $$ A^0 = E $$
  3. При умножении матрицы на обратную её матрицу получается единичная матрица:
    $$ A \cdot A^{-1} = E $$
  4. При умножении матрицы на транспонированную к ней матрицу получается единичная матрица:
    $$ A \cdot A^T = E $$
  5. Определитель единичной матрицы $ E $ равен единице:
    $$ \Delta = \det E = 1 $$

Свойства единичной матрицы подразумеваются для квадратных матриц.

Примеры

Пример
Составить единичную матрицу второго, третьего и четвертого порядка
Решение

По определению единичная матрица является квадратной, главная диагональ заполнена единицами, а остальные элементы равны нулю:

$$ E = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}; E = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}; E = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
Аналогичным способом составляются матрицы более высокого порядка

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ