Ранг матрицы
| Определение |
| Ранг матрицы $ A $ – это максимальное количество линейно-независимых строк (столбцов) этой матрицы. Обозначается $ rang A $ или $ r(A) $. |
Формула ранга матрицы гласит, что он не должен превышать порядка этой же матрицы:
$$ 0 \leq rang A_{m \times n} \leq min (m,n) $$
Чтобы найти ранг матрицы существует два метода:
- Метод окамляющих миноров
- Метод элементарных преобразований
На практике применяется второй способ, так как он универсальный и позволяет вычислять ранг матриц любого порядка. Основан он на свойстве, заключаещегося в том, что $ rang A $ не меняется в случае проведения элементарных преобразований над матрицей. Путём приведения матрицы к ступенчатому виду мы узнаем количество линейно-независимых строк (столбцов), которое равно рангу матрицы.
| Пример 1 |
| Найдите ранг матрицы $$ A = \begin{pmatrix} 2&0&-2 \\ -4&0&4 \end{pmatrix} $$ |
| Решение |
|
Пример решаем с помощью элементарных преобразований. Приводим матрицу к ступенчатой форме. Прибавляем удвоенную первую строку ко второй: $$ A = \begin{pmatrix} 2&0&-2 \\ -4&0&4 \end{pmatrix} \overset{c_2+2c_1}{\thicksim} \begin{pmatrix} 2&0&-2 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} $$ В полученной матрице появилась нулевая строка, которую необходимо убрать из матрицы: $$ \begin{pmatrix} 2&0&-2 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix} 2&0&-2 \end{pmatrix} $$ Теперь после преобразований количество строк $ m = 1 $, количество столбцов $ n=3 $. Наименьшее число $ m = 1 $, поэтому $ rang A = 1 $. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ rang A = 1 $$ |
| Пример 2 |
| Найти ранг матрицы: $$ A = \begin{pmatrix} 4&2&3 \\ 5&2&1 \\ 9&4&4 \end{pmatrix} $$ |
| Решение |
|
Выполняем элементарные преобразования над матрицей, чтобы узнать количество линейно-независимых строк. Вычитаем из второй строки, умноженной на четверку, первую строку, умноженную на пятерку: $$ A = \begin{pmatrix} 4&2&3 \\ 5&2&1 \\ 9&4&4 \end{pmatrix} \overset{4c_2-5c_1}{\thicksim} \begin{pmatrix} 4&2&3 \\ 0&-2&-11 \\ 9&4&4 \end{pmatrix} $$ Вычитаем из третьей строки, умноженной на четыре, первую строку, умноженную на девять: $$ \begin{pmatrix} 4&2&3 \\ 0&-2&-11 \\ 9&4&4 \end{pmatrix} \overset{4c_3-9c_1}{\thicksim}\begin{pmatrix} 4&2&3 \\ 0&-2&-11 \\ 0&-2&-11 \end{pmatrix} $$ Вычитаем из третьей строки вторую строку: $$ \begin{pmatrix} 4&2&3 \\ 0&-2&-11 \\ 0&-2&-11 \end{pmatrix} \overset{4c_3-9c_1}{\thicksim}\begin{pmatrix} 4&2&3 \\ 0&-2&-11 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} $$ Замечаем, что последняя строка матрицы нулевая, значит её можно вычеркнуть: $$ \begin{pmatrix} 4&2&3 \\ 0&-2&-11 \\ 0&-2&-11 \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix} 4&2&3 \\ 0&-2&-11 \end{pmatrix} $$ После элементарных преобразований количество строк уменьшилось и стало $ m=2 $, а количество столбцов $ n = 3 $. По формуле ранга матрицы берем минимальные число из $ m $ и $ n $, то есть $ m=2 $. Получили, что $ rang A = 2 $ |
| Ответ |
| $$ rang A = 2 $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ