Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов

Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам. Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Ранг матрицы

Формула

Определение
Ранг матрицы  – это максимальное количество линейно-независимых строк (столбцов) этой матрицы. Обозначается или .

Формула ранга матрицы гласит, что он не должен превышать порядка этой же матрицы: 

Как найти?

Чтобы найти ранг матрицы существует два метода:

  1. Метод окамляющих миноров
  2. Метод элементарных преобразований

На практике применяется второй способ, так как он универсальный и позволяет вычислять ранг матриц любого порядка. Основан он на свойстве, заключаещегося в том, что не меняется в случае проведения элементарных преобразований над матрицей. Путём приведения матрицы к ступенчатому виду мы узнаем количество линейно-независимых строк (столбцов), которое равно рангу матрицы.

Примеры решений

Пример 1
Определить ранг матрицы
Решение

Пример решаем с помощью элементарных преобразований. Приводим матрицу к ступенчатой форме. 

Прибавляем удвоенную первую строку ко второй:

В полученной матрице появилась нулевая строка, которую необходимо убрать из матрицы:

Теперь после преобразований количество строк , количество столбцов . Наименьшее число , поэтому .

Ответ
Решение задач от 20 руб/шт, от 2 часов
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб, от 4 часов
подробное написание
Пример 2
Найти ранг матрицы:
Решение

Выполняем элементарные преобразования над матрицей, чтобы узнать количество линейно-независимых строк.

Вычитаем из второй строки, умноженной на четверку, первую строку, умноженную на пятерку:

Вычитаем из третьей строки, умноженной на четыре, первую строку, умноженную на девять:

Вычитаем из третьей строки вторую строку:

Замечаем, что последняя строка матрицы нулевая, значит её можно вычеркнуть:

После элементарных преобразований количество строк уменьшилось и стало , а количество столбцов . По формуле ранга матрицы берем минимальные число из и , то есть . Получили, что

Ответ

Нужно подробное решение своих задач?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ