Произведение матриц
Для того, чтобы найти произведение матриц нужно строки левой матрицы умножить на столбцы правой матрицы. $$\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ *&*&* \\ *&*&* \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11}&*&* \\ b_{21}&*&* \\ b_{31}&*&* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{11}&*&* \\ *&*&* \\ *&*&* \end{pmatrix}$$
Умножение строки на столбец производим по правилу скалярного произведения. То есть находим сумму произведений соответствующих элементов. Например, при умножении первой строки на первый столбец получаем $$c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}.$$
Обязательно перед умножением матриц необходимо убедиться, чтобы число столбцов левой матрицы совпадало с числом строк правой матрицы. Только в этом случае матрицы можно перемножать. В результате получается матрица, у которой число строк равняется количеству строк левой матрицы, а количество столбцов равно числу столбцов правой матрицы. $$ \underbrace{A}_{n \times p} \times \underbrace{B}_{p \times m} = \underbrace{C}_{n\times m}$$
Важное замечание!
Умножение матриц не коммутативно, т.е. $AB \neq BA$.
| Пример 1 |
| Найти произведение матриц $A\times B$ $$A=\begin{pmatrix} 2&1 \\ -3&4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1&-3 \\ 2&0 \end{pmatrix}.$$ |
| Решение |
|
Проверяем, что число столбцов матрицы $A$ равно числу строк матрицы $B$. Далее берем первую строчку левой матрицы и умножаем её на первый столбец второй матрицы.
$$A \times B = \begin{pmatrix} 2&1 \\*&* \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&* \\ 2&* \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2\cdot1+1\cdot2 &* \\*&* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4&* \\*&* \end{pmatrix}$$
Теперь умножаем первую строку левой матрицы на второй столбец правой матрицы. $$A \times B = \begin{pmatrix} 2&1 \\*&* \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} *&-3 \\ *&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} *&2\cdot(-3)+1\cdot0 \\*&* \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} *&-6 \\*&* \end{pmatrix}$$
Далее вторую строчку левой матрицы и умножаем на первый столбец второй матрицы. $$A \times B = \begin{pmatrix} *&* \\-3&4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&* \\ 2&* \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} *&* \\(-3)\cdot1+4\cdot2&* \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} *&* \\5&* \end{pmatrix}$$
И осталось умножить первую строку левой матрицы на второй столбец правой матрицы.
$$A \times B = \begin{pmatrix} *&* \\-3&4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} *&-3 \\ *&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} *&* \\ *&(-3)\cdot(-3)+4\cdot0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} *&* \\*&9 \end{pmatrix}$$
Вот теперь можно составить полный ответ. $$A\times B=\begin{pmatrix} 2&1 \\ -3&4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&-3 \\ 2&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4&-6 \\ 5&9 \end{pmatrix}$$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
|
| Ответ |
| $$A \times B = \begin{pmatrix} 4&-6 \\ 5&9 \end{pmatrix}$$ |
| Пример 2 |
| Умножить матрицы $A\times B$ $$A = \begin{pmatrix} 2&3&0 \\ 1&-1&2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 2&-1 \\ 1&-2 \end{pmatrix}.$$ |
| Решение |
|
Убеждаемся, что число столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$ для того, чтобы можно было выполнить умножение. Так как количество строк в $A$ равно двум, а количество столбцов в $B$ равно 2, то в результате должна получиться матрица с размерностью два на два. $$A \times B = \begin{pmatrix} 2&3&0 \\ 1&-1&2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&0 \\ 2&-1 \\ 1&-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} *&* \\ *&* \end{pmatrix}$$
Умножаем первую строку левой матрицы на второй столбец правой матрицы. $$\begin{pmatrix} 2&3&0 \\ 1&-1&2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&0 \\ 2&-1 \\ 1&-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot1+3\cdot2+0\cdot1&* \\ *&* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&* \\*&* \end{pmatrix}$$
Умножим первую строку левой матрицы на второй столбец правой матрицы. $$\begin{pmatrix} 2&3&0 \\ 1&-1&2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&0 \\ 2&-1 \\ 1&-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&2\cdot0+3\cdot(-1)+0\cdot(-2) \\ *&* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3 \\*&* \end{pmatrix}$$
Аналогично поступаем теперь со второй строкой левой матрицы. Умножаем её на первый столбец правой матрицы. $$\begin{pmatrix} 2&3&0 \\ 1&-1&2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&0 \\ 2&-1 \\ 1&-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3 \\ 1\cdot1+(-1)\cdot2+2\cdot1&* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3 \\1&* \end{pmatrix}$$
Умножим вторую строку левой матрицы на второй столбец правой матрицы.$$\begin{pmatrix} 2&3&0 \\ 1&-1&2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&0 \\ 2&-1 \\ 1&-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3 \\ 1&1\cdot0+(-1)\cdot(-1)+2\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3 \\1&-3 \end{pmatrix}$$
Вот таким образом можно перемножить матрицы разной размерности.
|
| Ответ |
| $$A\times B = \begin{pmatrix} 8&-3 \\1&-3 \end{pmatrix}$$ |
| Пример 3 |
| Найти произведение матриц $A\times B$ $$A = \begin{pmatrix} 2&3&0 \\ -1&2&3 \\ 1&-1&2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1&0&2 \\ 2&-1&-2 \\ 1&-2&4 \end{pmatrix}.$$ |
| Решение |
|
Умножаем первую строку левой матрицы на первый столбец правой матрицы. $$\begin{pmatrix} 2&3&0 \\ -1&2&3 \\ 1&-1&2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&0&2 \\ 2&-1&-2 \\ 1&-2&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot1+3\cdot2+0\cdot1 &*&* \\*&*&* \\ *&*&* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&*&* \\ *&*&* \\ *&*&* \end{pmatrix}$$
Перемножим первую строку матрицы $A$ со вторым столбцом матрицы $B$. $$\begin{pmatrix} 2&3&0 \\ -1&2&3 \\ 1&-1&2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&0&2 \\ 2&-1&-2 \\ 1&-2&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&2\cdot0+3\cdot(-1)+0\cdot(-2)&* \\*&*&* \\ *&*&* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3&* \\ *&*&* \\ *&*&* \end{pmatrix}$$
Найдем произведение первой строки матрицы $A$ на третий столбец матрицы $B$. $$\begin{pmatrix} 2&3&0 \\ -1&2&3 \\ 1&-1&2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&0&2 \\ 2&-1&-2 \\ 1&-2&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3&2\cdot2+3\cdot(-2)+0\cdot4 \\*&*&* \\ *&*&* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3&-2 \\ *&*&* \\ *&*&* \end{pmatrix}$$
Возьмем вторую строку левой матрицы и умножим на первый столбец правой матрицы. $$\begin{pmatrix} 2&3&0 \\ -1&2&3 \\ 1&-1&2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&0&2 \\ 2&-1&-2 \\ 1&-2&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3&-2 \\(-1)\cdot1+2\cdot2+3\cdot1&*&* \\ *&*&* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3&-2 \\ 6&*&* \\ *&*&* \end{pmatrix}$$
Аналогично умножим вторую строчку на второй столбец. $$\begin{pmatrix} 2&3&0 \\ -1&2&3 \\ 1&-1&2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&0&2 \\ 2&-1&-2 \\ 1&-2&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3&-2 \\ 6&(-1)\cdot0+2\cdot(-1)+3\cdot(-2)&* \\ *&*&* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3&-2 \\ 6&-8&* \\ *&*&* \end{pmatrix}$$
Таким же образом перемножим вторую строчку с третьим столбцом. $$\begin{pmatrix} 2&3&0 \\ -1&2&3 \\ 1&-1&2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&0&2 \\ 2&-1&-2 \\ 1&-2&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3&-2 \\ 6&-8&(-1)\cdot2+2\cdot(-2)+3\cdot4 \\ *&*&* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3&-2 \\ 6&-8&6 \\ *&*&* \end{pmatrix}$$
Аналогично поступаем с третьей строкой левой матрицы, умножая её на три столбца правой матрицы. $$\begin{pmatrix} 2&3&0 \\ -1&2&3 \\ 1&-1&2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&0&2 \\ 2&-1&-2 \\ 1&-2&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3&-2 \\ 6&-8&6 \\ 1\cdot1+(-1)\cdot2+2\cdot1&*&* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3&-2 \\ 6&-8&6 \\ 1&*&* \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} 2&3&0 \\ -1&2&3 \\ 1&-1&2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&0&2 \\ 2&-1&-2 \\ 1&-2&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3&-2 \\ 6&-8&6 \\ 1&1\cdot0+(-1)\cdot(-1)+2\cdot(-2)&* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3&-2 \\ 6&-8&6 \\ 1&-3&* \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} 2&3&0 \\ -1&2&3 \\ 1&-1&2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&0&2 \\ 2&-1&-2 \\ 1&-2&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3&-2 \\ 6&-8&6 \\ 1&-3&1\cdot2+(-1)\cdot(-2)+2\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&-3&-2 \\ 6&-8&6 \\ 1&-3&12 \end{pmatrix}$$
|
| Ответ |
| $$A\times B = \begin{pmatrix} 8&-3&-2 \\ 6&-8&6 \\ 1&-3&12 \end{pmatrix}$$ |
| Пример 4 |
| Найти произведение матриц $A\times B$ $$A = \begin{pmatrix} 2&3&0 \\ -1&2&3 \\ 1&-1&2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1&0&2 \\ 1&-2&4 \end{pmatrix}.$$ |
| Решение |
| Количество столбцов в матрице $A$ равно трём и не совпадает с числом строк в матрице $B$, поэтому нельзя выполнить произведение $A \times B$, но вот наоборот произведение $B \times A$ можно сделать, так как количество столбцов в матрице $B$ равно количеству строк в $A$. Но так как в условии требуется вариант $A\times B$, то ответ прост: нельзя выполнить умножение. |
| Ответ |
| Матрицы нельзя перемножить |