Умножение матрицы на число

Умножение матрицы на число - это операция над матрицей, в результате которой каждый её элемент умножается на дейсвительное или комплексное число. Выглядит математическим языком это так: 

$$ B = \lambda \cdot A \Rightarrow b_{ij} = \lambda a_{ij} $$

Стоит заметить, что получаемая матрица $ B $ в результате должна получаться той же размерности, которой обладала начальная матрица $ A $. Так же можно обратить внимание на такой факт: $ \lambda \cdot A = A \cdot \lambda $, то есть можно менять местами множители и от этого произведение не изменится.

Будет полезным использовать операцию умножения матрицы на число при вынесении общего множителя за пределы матрицы. В этом случае каждый элемент матрицы делится на число $ \lambda $, а сам он выносится перед матрицей.

Свойства

1. Дистрибутивный закон относительно матриц: $$ \lambda \cdot (A+B) = \lambda A + \lambda B $$Умножение суммы матриц на число можно заменить на сумму произведений каждой отдельной матрицы на данное число
2. Дистрибутивный закон относительно действительных (комплексных) чисел: $$ (\lambda + \mu) \cdot A = \lambda A + \mu A $$ Умножение матрицы на сумму чисел можно заменить на сумму произведений каждого числа на матрицу
3. Ассоциативный закон: $$ \lambda \cdot (\mu \cdot A) = (\lambda \cdot \mu) A $$ Удобно использовать если нужно вынести общий множитель из матрицы перед ней, при этом домножая уже стоящий перед ней коэффициент
4. Есть особое число $ \lambda = 1 $, благодаря которому матрица остаётся неизменной $$ 1 \cdot A = A \cdot 1 = A $$
5. Умножение матрицы на ноль приводит к тому, что каждый элемент матриц обнуляется и матрица становится нулевой той же размерности, которой была изначально: $$ 0 \cdot A = 0 $$