Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Умножение матрицы на число

Формула

Умножение матрицы на число - это операция над матрицей, в результате которой каждый её элемент умножается на дейсвительное или комплексное число. Выглядит математическим языком это так: 

$$ B = \lambda \cdot A \Rightarrow b_{ij} = \lambda a_{ij} $$

Стоит заметить, что получаемая матрица $ B $ в результате должна получаться той же размерности, которой обладала начальная матрица $ A $. Так же можно обратить внимание на такой факт: $ \lambda \cdot A = A \cdot \lambda $, то есть можно менять местами множители и от этого произведение не изменится.

Будет полезным использовать операцию умножение матрицы на число при вынесении общего множителя за пределы матрицы. В этом случае каждый элемент матрицы делится на число $ \lambda $, а сам он выносится перед матрицей.

Свойства

  1. Дистрибутивный закон относительно матриц: $$ \lambda \cdot (A+B) = \lambda A + \lambda B $$Умножение суммы матриц на число можно заменить на сумму произведений каждой отдельной матрицы на данное число
  2. Дистрибутивный закон относительно действительных (комплексных) чисел: $$ (\lambda + \mu) \cdot A = \lambda A + \mu A $$ Умножение матрицы на сумму чисел можно заменить на сумму произведений каждого числа на матрицу
  3. Ассоциативный закон: $$ \lambda \cdot (\mu \cdot A) = (\lambda \cdot \mu) A $$ Удобно использовать если нужно вынести общий множитель из матрицы перед ней, при этом домножая уже стоящий перед ней коэффициент
  4. Есть особое число $ \lambda = 1 $, благодаря которому матрица остаётся неизменной $$ 1 \cdot A = A \cdot 1 = A $$
  5. Умножение матрицы на ноль приводит к тому, что каждый элемент матриц обнуляется и матрица становится нулевой той же размерности, которой была изначально: $$ 0 \cdot A = 0 $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание

Примеры решений

Пример
Дано $ A = \begin{pmatrix} 2&-1&4\\0&9&3\\-2&-3&5 \end{pmatrix} $ и действительное число $ \lambda = 2 $. Умножить число на матрицу.
Решение

Записываем математическую операцию умножения и заодно вспоминаем правило, которое гласит: матрица умножается на число поэлементно.

$$ \lambda \cdot A = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2&-1&4\\0&9&3\\-2&-3&5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot 2&2\cdot (-1)&2\cdot 4\\2\cdot 0&2 \cdot 9&2\cdot 3\\2\cdot (-2)&2\cdot (-3)&2\cdot 5 \end{pmatrix} = $$

$$ = \begin{pmatrix} 4&-2&8\\0&18&6\\-4&-6&10 \end{pmatrix} $$

В результате видим, что каждое число стоящее в матрицы удвоилось по отношению к начальному значению.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \lambda \cdot A = \begin{pmatrix} 4&-2&8\\0&18&6\\-4&-6&10 \end{pmatrix} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ