Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Минор матрицы

Формула

Определение
Минор матрицы - это определитель $ n-1 $ порядка, составленный путём вычеркивания $ i $-ой строки и $ j $-го столбца из матрицы $ A $ порядка $ n $. Обозначается минор $ M_{ij} $

Формула минора матрицы выводится для каждого элемента этой матрицы отдельно. Пусть задана квадратная матрица $ A $ порядка $ n = 3 $:

$$ A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} $$

По определению каждый минор $ M_{ij} $ равен определителю, получаемому при вычеркивании $ i $-ой строки и $ j $-ого столбца из матрицы $ A $.

$$ M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22}&a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}; M_{12} = \begin{vmatrix} a_{21}&a_{23} \\ a_{31}&a_{33} \end{vmatrix}; M_{13} = \begin{vmatrix} a_{21}&a_{22} \\ a_{31}&a_{32} \end{vmatrix}; $$

$$ M_{21} = \begin{vmatrix} a_{12}&a_{13} \\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}; M_{22} = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{13} \\ a_{31}&a_{33} \end{vmatrix}; M_{33} = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix}; $$

$$ M_{31} = \begin{vmatrix} a_{12}&a_{13} \\ a_{22}&a_{23} \end{vmatrix}; M_{32} = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{13} \\ a_{21}&a_{23} \end{vmatrix}; M_{33} = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix}; $$

Аналогично миноры находятся для любого порядка. В частности для матрицы второго порядка в определитель будет входить одно число.

Как найти?

Чтобы найти миноры матрицы $ M_{ij} $ нужно составить определители, полученные путем вычеркивания из матрицы $ A $ соответствующие строку и столбец.

Пример для матрицы второго порядка:

$$ M_{12} = \begin{pmatrix} {a_{11}} & {a_{12}} \\ a_{21}&{a_{22}} \end{pmatrix} = a_{21} $$

Пример для матрицы третьего порядка:

$$ M_{12} = \begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}} \\ a_{21}&{a_{22}}&a_{23} \\ a_{31}&{a_{32}}&a_{33} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{21}&a_{23} \\ a_{31}&a_{33} \end{vmatrix} = a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31} $$

Если полученный определитель:

  1. Первого порядка, то записываем оставшееся число
  2. Второго или третьего порядка, то вычисляем его по правилу треугольников
  3. Четвертого и выше порядка, то выполняем разложение по строке (столбцу), либо методом Гаусса

Примеры решений

Пример 1

Определить миноры матрицы:

$$ A = \begin{pmatrix} 2&1 \\ 0&5 \end{pmatrix} $$

Решение

Вычеркиваем нужную строку и столбец:

$$ M_{11} = \begin{pmatrix} {2}&{1} \\ {0}&5 \end{pmatrix} = 5 $$

$$ M_{12} = \begin{pmatrix} {2}&{1} \\ 0&{5} \end{pmatrix} = 0 $$

$$ M_{21} = \begin{pmatrix} {2}&1 \\ {0}&{5} \end{pmatrix} = 1 $$

$$ M_{22} = \begin{pmatrix} 2&{1} \\ {0}&{5} \end{pmatrix} = 2 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ M_{11} = 5; M_{12} = 0; M_{21} = 1; M_{22} = 2 $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2

Найти миноры элементов на главной диагонали матрицы:

$$ A = \begin{pmatrix} 2&3&1 \\ 1&-2&-3 \\ 0&1&2 \end{pmatrix} $$

Решение

Рассчитываем миноры:

$$ M_{11} = \begin{pmatrix} {2}&{3}&{1} \\ {1}&-2&-3 \\ {0}&1&2 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} -2&-3 \\ 1&2 \end{vmatrix} = -4+3 = -1 $$

$$ M_{22} = \begin{pmatrix} 2&{3}&1 \\ {1}&{-2}&{-3} \\ 0&{1}&2 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} 2&1 \\ 0&2 \end{vmatrix} = 4-0 = 4 $$

$$ M_{33} = \begin{pmatrix} 2&3&{1} \\ 1&-2&{-3} \\ {0}&{1}&{2} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} 2&3 \\ 1&-2 \end{vmatrix} = -4-3 = -7 $$

Ответ
$$ M_{11} = -1; M_{22} = 4; M_{33} = -7 $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ