Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Элементарные преобразования матриц

Формулы

Приведем формулы элементарных преобразований матриц:

  1.  Перестановка местами строк
    $$ \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} \overset{c_1 \thicksim c_2}{=} \begin{pmatrix} a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} $$
  2. Умножение строки матрицы на число
    $$ \lambda \cdot \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \cdot a_{11} & \lambda \cdot a_{12} & \lambda \cdot a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} $$
  3. Сложение/вычитание строк, умноженных на число
    $$ \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} \overset{c_2\pm\lambda\cdot c_1}{\thicksim} \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12} &a_{13} \\ a_{21}\pm\lambda a_{11}&a_{22}\pm\lambda a_{12}&a_{23}\pm\lambda a_{13} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} $$

Матрица, полученная путем элементарных преобразований, эквивалентна исходной матрице. Такие преобразования необходимы для операций над матрицами при нахождении следа, ранга, определителя, обратной матрицы и так далее.

Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание

Примеры решений

Пример
Произвести элементарные преобразования над матрицей: $$ A = \begin{pmatrix} 1&2&0\\-2&0&1\\4&3&1 \end{pmatrix} $$
Решение

Меняем местами вторую строку матрицы с третьей:

$$ \begin{pmatrix} 1&2&0\\-2&0&1\\4&3&1 \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix} 1&2&0\\4&3&1\\-2&0&1 \end{pmatrix} $$

Умножаем первую строку матрицы на четверку:

$$ \begin{pmatrix} 1&2&0\\-2&0&1\\4&3&1 \end{pmatrix} \overset{4\cdot c_1}{\thicksim} \begin{pmatrix} 4\cdot 1 & 4 \cdot 2 & 4 \cdot 0 \\ 4&3&1 \\-2&0&1 \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix} 4&8&0 \\ 4&3&1 \\ -2&0&1 \end{pmatrix} $$

Вычитаем из второй строки первую:

$$ \begin{pmatrix} 4&8&0 \\ 4&3&1 \\ -2&0&1 \end{pmatrix} \overset{c_2-c_1}{\thicksim} \begin{pmatrix} 4&8&0 \\ 4-4&3-8&1-0 \\ -2&0&1 \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix} 4&8&0 \\ 0&-5&1 \\ -2&0&1 \end{pmatrix} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
Преобразования удобно применять при решении матриц

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ