Элементарные преобразования матриц

Формулы

Приведем формулы элементарных преобразований матриц:

1.  Перестановка местами строк
   $$ \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} \overset{c_1 \thicksim c_2}{=} \begin{pmatrix} a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} $$
2. Умножение строки матрицы на число
   $$ \lambda \cdot \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \cdot a_{11} & \lambda \cdot a_{12} & \lambda \cdot a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} $$
3. Сложение/вычитание строк, умноженных на число
   $$ \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} \overset{c_2\pm\lambda\cdot c_1}{\thicksim} \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12} &a_{13} \\ a_{21}\pm\lambda a_{11}&a_{22}\pm\lambda a_{12}&a_{23}\pm\lambda a_{13} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} $$

Матрица, полученная путем элементарных преобразований, эквивалентна исходной матрице. Такие преобразования необходимы для операций над матрицами при нахождении следа, ранга, определителя, обратной матрицы и так далее.

Примеры решений