Как составить систему уравнений по законам Кирхгофа
Составление уравнений по законам Кирхгофа является одним из основных методов расчета электрических цепей. Законы являются следствием фундаментальных законов сохранения заряда и энергии и применяются для решения широкого круга задач в электротехнике и электронике. Далее сформулируем законы Кирхгофа.
Формулы и определения
Первый закон Кирхгофа: сумма токов в узле электрической цепи равна нулю. Токи входящие в узел записываются со знаком "+," а токи выходящие из узла учитываются со знаком "-".
$$I_1 - I_2 + I_3 - I_4 = 0$$
Формула первого закона Кирхгофа выглядит следующим образом: $$\sum_{k=1} ^n I_k = 0$$
Второй закон Кирхгофа: в замкнутом контуре сумма произведений токов на соответствующие сопротивления равна алгебраической сумме эдс вдоль этого контура. Выбирается направление контура, например, по часовой стрелке и записывается уравнение.
$$I_1 R_1 - I_2 R_2 + I_3 R_3 = E_1 + E_3 - E_2$$
Формула второго закона Кирхгофа записывается так: $$\sum_{k=1} ^n I_k R_k = \sum_{k=1} ^m E_k$$
Алгоритм составления системы уравнений
Для того, чтобы составить уравнения по законам Кирхгофа необходимо выполнить следующие действия:
- Определить количество узлов, ветвей и независимых контуров в цепи.
- Выбрать направление токов в каждой ветви, указав их на схеме.
- Составить уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов. Количество уравнений должно быть равно числу всех узлов минус один.
- Составить уравнения по второму закону Кирхгофа для всех независимых контуров цепи. Количество уравнений должно быть равным числу ветвей минус количество уравнений по первому закону.
- Решить полученную систему уравнений любым доступным способом.
Важно отметить, что при составлении уравнений необходимо следить за согласованностью выбранных направлений токов и обходов контуров, чтобы не допустить ошибок при решении системы уравнений.
Примеры решения задач
Решение. Первое, что нужно сделать это расставить токи в ветвях с произвольным направлением. Рекомендуется выбирать направление совпадающее с ЭДС.
Теперь уже можно составить уравнения по первому закону Кирхгофа. Он гласит, что алгебраическая сумма токов в узлах цепи равна нулю. Число уравнений будет на одно меньше, чем узлов. Так как в примере дана цепь, содержащая 4 узла, то количество уравнений нужно составить 3 штуки. Узлы можно брать любые. Обозначим их буквами $a,b,c$ для удобства. Токи, которые имеют направление к узлам записываются со знаком "+", а от узла со знаком "-".
Для узла "a" получаем уравнение:
$$I_1 + I_2 + I_3 = 0$$
Для узла "b" аналогичным образом:
$$-I_1 - I_4 - I_6 = 0$$
Остается узел "c" для которого:
$$-I_3+I_5+I_6 = 0$$
Теперь, чтобы составить уравнения по второму закону Кирхгофа нужно обозначить независимые контуры цепи и выбрать в них направления обхода. Рекомендуем выбирать обход по часовой стрелке во всех контурах, чтобы не запутаться в дальнейших действиях. Но можно делать это произвольно.
Число уравнений по второму закону будет равно числу ветвей минус число уравнений по первому закону. То есть в нашей задаче будет составить 3 уравнения. Если направление тока совпадает с направлением обхода контура, то ток записывается со знаком плюс. В противном случае с минусом. Поступать с ЭДС следует аналогично.
Итак, нам нужно найти алгебраическую сумму падений напряжений в контуре и приравнять её к ЭДС, действующей в этом же контуре. Если эдс отсутствует в контуре, то пишем ноль.
Для первого контура уравнение будет следующим:
$$I_1 R_1 - I_2 R_2 - I_4 R_4 = E_1-E_2$$
Выполняя обход второго контура получаем следующее уравнение:
$$I_2 R_2 - I_3 R_3 - I_5 R_5 = E_2$$
Для третьего контура имеем уравнение:
$$I_4 R_4 + I_5 R_5 - I_6 R_6 = 0$$
Таким образом получаем систему уравнений по законам Кирхгофа.
$$\begin{cases} I_1 + I_2 + I_3 = 0 \\ -I_1 - I_4 - I_6 = 0 \\ -I_3+I_5+I_6 = 0 \\ I_1 R_1 - I_2 R_2 - I_4 R_4 = E_1-E_2 \\ I_2 R_2 - I_3 R_3 - I_5 R_5 = E_2 \\ I_4 R_4 + I_5 R_5 - I_6 R_6 = 0 \end{cases}$$
Задача 2. Составить уравнения по законам Кирхгофа для цепи.
Решение. Первым делом определим количество узлов и расставим токи в ветвях в произвольном направлении. Всего на схеме 4 узла. Но для составления уравнений по первому закону Кирхгофа нужно взять на один узел меньше, то есть 3. Обозначим узлы и токи.
Напоминаем, что по первому закону Кирхгофа нужно найти сумму токов в узлах. Токи входящие в узел со знаком плюс, выходящие из узла со знаком минус.
Для узла "a": $$I_1 + I_2 - I_6 + I_7 = 0$$
Для узла "b": $$-I_2 - I_3 - I_5 = 0$$
Для узла "с": $$-I_1+I_4+I_5+I_6=0$$
Число уравнений по второму закону должно быть число ветвей минус число уравнений из первого закона. В данном примере 7 ветвей. Значит, нужно составить 4 уравнения.
Выбираем направления независимых контуров по часовой стрелке. Именно его будет сверять с направлением тока в ветвях. При совпадении будем ставить знак плюс, в противном случае минус.
Для первого контура: $$I_3 R_3 + I_7 R_2 = -E_2$$
Для второго контура: $$I_5 R_5 - I_4 R_4 - I_3 R_3 = 0$$
Для третьего контура: $$I_6 R_6 - I_5 R_5 = E_2$$
Для четвертого контура: $$I_7 R_2 - I_1 R_1 - I_4 R_4 = - E_1$$
Записываем итоговую систему уравнений в качестве ответа к задаче:
$$\begin{cases} I_1 + I_2 - I_6 + I_7 = 0 \\ -I_2 - I_3 - I_5 = 0 \\ -I_1+I_4+I_5+I_6=0 \\ I_3 R_3 + I_7 R_2 = -E_2 \\ I_5 R_5 - I_4 R_4 - I_3 R_3 = 0 \\ I_6 R_6 - I_5 R_5 = E_2 \\ I_7 R_2 - I_1 R_1 - I_4 R_4 = - E_1 \end{cases}$$
Таким образом, составляются уравнения, используя первый и второй закон Кирхгофа. Для численного нахождения значений токов данный метод можно применять, если число уравнений в системе не более четырех. Если больше, то требуется решать систему с помощью компьютера. Поэтому в таких случаях применяют другие методы нахождения токов в электрических цепях, например, метод контурных токов.