Как определить токи в ветвях электрической цепи

Задача 1. Определить токи в ветвях электрической цепи. $R_1 = 1, R_2 = 3, R_3 = 5, R_4 = 7, R_5 = 9, R_6 = 11, E_1 = 10, E_2 = 80, E_3 = 20$

Решение. Для определения токов ветвей в данной статье воспользуемся двумя методами: Кирхгофа и МКТ (контурных токов). Сначала расставим в каждой ветви токи и выберем произвольное их направление.

Метод Кирхгофа

Начнём с метода Кирхгофа. Пронумеруем узлы в цепи.

По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в узлах равна нулю. У нас дано 4 узла. Но достаточно составить три уравнения по трём любым узлам. Будем записывать токи со знаком плюс, которые втекают в узел. Со знаком минус будут те токи, которые из него вытекают. Записываем уравнения по узлам 1, 2, 3.

$$\begin{cases} I_1 - I_4 + I_6 = 0 \\ I_3 - I_1 - I_2 = 0 \\ I_2 - I_5 - I_6 = 0 \end{cases}$$

Теперь составим уравнения по второму закону по принципу сумма падения напрежений в контуре равна сумме ЭДС в этом же контуре. Число уравнений равно число ветвей минус число уравнений по первому закону. Обозначим независимые контуры и выберем для них направление по часовой стрелке. Если направление токов совпадает с направлением контура, то пишем знак плюс перед $IR$, в противном случае минус. Со знаком ЭДС поступаем аналогично.

$$\begin{cases} -I_1 R_1 - I_3 R_3 - I_4 R_4 = -E_1 - E_3 \\ I_2 R_2 + I_5 R_5 + I_3 R_3 = E_2 \\ I_4 R_4 - I_5 R_5 + I_6 R_6 = E_3 \end{cases}$$

Теперь объединим это всё в одну систему уравнений. $$\begin{cases} I_1 - I_4 + I_6 = 0 \\ I_3 - I_1 - I_2 = 0 \\ I_2 - I_5 - I_6 = 0 \\ -I_1 R_1 - I_3 R_3 - I_4 R_4 = -E_1 - E_3 \\ I_2 R_2 + I_5 R_5 + I_3 R_3 = E_2 \\ I_4 R_4 - I_5 R_5 + I_6 R_6 = E_3 \end{cases}$$

Осталось подставить в систему уравнений известные сопротивления $R$ из условия задачи и вычислить токи в ветвях цепи $I_1, I_2, I_3, I_4, I_5, I_6, E_1, E_2, E_3$.

$$\begin{cases} I_1 - I_4 + I_6 = 0 \\ I_3 - I_1 - I_2 = 0 \\ I_2 - I_5 - I_6 = 0 \\ -I_1 - 5 I_3 - 7 R_4 = -30 \\ 3 I_2 + 9 I_5 + 5 I_3 = 80 \\ 7 I_4 - 9 I_5 + 11 I_6 = 20 \end{cases}$$

Решая данную систему любым способом, получаем токи.

$$I_1 = -2.5026 \text{ A}, I_2 = 7.658 \text{ A}, I_3 = 4.8559 \text{ A}$$

$$I_4 = 1.2176 \text{ A}, I_5 = 3.6383 \text{ A}, I_6 = 4.0202 \text{ A}$$

Метод контурных токов (МКТ)

Обозначим контурные токи через $I_{11}, I_{22}, I_{33}$ и выберем для них направление по часовой стрелке. Их количество вычисляется по формуле: $$N_{kk} = N_{\text{в}} - N_{\text{у}}$$

Составим уравнение для первого контурного тока.

$$I_{11} (R_1 + R_3 + R_4) - I_{22} R_3 - I_{33} R_4 = -E_1 - E_3$$

Для второго контурного тока.

$$I_{22} (R_2 + R_3 + R_5) - I_{11} R_3 - I_{33} R_5 = E_2$$

Для третьего контурного тока.

$$I_{33} (R_4 + R_5 + R_6) - I_{11} R_4 - I_{22} R_5 = E_3$$

Записываем все три уравнения в виде системы и подставляем известные $R$ и $E$.

$$\begin{cases} 13 I_{11} - 5 I_{22} - 7 I_{33} = -30 \\ 17 I_{22} - 5 I_{11} - 9 I_{33} = 80 \\ 27 I_{33} - 7 I_{11} - 9 I_{22} = 20 \end{cases}$$

Решая систему уравнений получаем значения контурных токов.

$$I_{11} = 2.8026 \text{ A}, I_{22} = 7.6585 \text{ A}, I_{33} = 4.0202 \text{ A}$$

Так как токи $I_1, I_2, I_6$ текут только в одних независимых контурах, то они равны контурным токам.

$$I_1 = I_{11} = 2.8026 \text{ A}, I_2 = I_{22} = 7.6585 \text{ A}, I_6 = I_{33} = 4.0202 \text{ A}$$

Остальные токи найдем как сумму контурных токов, в которых эти токи протекают.

$$I_3 = -I_{11} + I_{22} = -2.8026 + 7.6585 = 4.8559 \text{ A}$$

$$I_4 = -I_{11} + I_{33} = -2.8026 + 4.0202 = 1.2176 \text{ A}$$

$$I_5 = I_{22} - I_{33} = 7.6585 - 4.0202 = 3.6383 \text{ A}$$