Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов (МУП) - это аналитический метод, используемый для решения задач электротехники, в частности, для анализа электрических цепей постоянного и переменного тока. Он позволяет определить потенциалы узлов электрической цепи и, на основе этих данных, токи в ветвях. Суть метода заключается в составлении системы уравнений, связывающих потенциалы узлов и известные величины (сопротивления, напряжения источников). Попытаемся рассказать подробно "для чайников".

Алгоритм составления уравнений

Для расчета составляются $N_y - 1$ независимых уравнений.

Потенциал одного из улов принимается равным нулю. Если в цепи есть ветвь, содержащая ЭДС без сопротивления, то за нулевой узел можно взять любой из узлов, к которым подключена эта ветвь.

Таким образом потенциал рассчитывается по следующей формуле:

$$\varphi_c = 0, \varphi_d = E$$

Для остальных узлов составляются уравнения по формуле:

$$g_{kk} \cdot \varphi_k - \sum g_{km} \cdot \varphi_m = J_{kk}$$

Здесь $g_{kk}$ - узловая проводимость $k$ - го узла, то есть сумма проводимостей ветвей сходящихся в этом узле.

$g_{km}$ - общая проводимость ветвей, соединяющих узлы $k$ и $m$.

$J_{kk}$ - узловой ток $k$ - го узла:

$$J_{kk} = \sum \pm E_{km} \cdot g_{km} + \sum \pm J_{km}$$

После определения потенциалов узлов схемы находят токи в ветвях по закону Ома по формуле:

$$I = \frac{\varphi_a - \varphi_b+E}{R_1} = (\varphi_a - \varphi_b+E)g_1$$

Если ЭДС отсутствует в ветви, то формула приобретает следующий вид:

$$I = \frac{\varphi_a - \varphi_b}{R_1} = (\varphi_a - \varphi_b)g_1$$

Примеры решения задач

---

Решение. Зададимся направлением токов и нулевым потенциалом узла $b$.

Тогда потенциалы узлов $c$ и $d$ будут равны: $$\varphi_c = \varphi_b + E_2 = 0 + 40 = 40B$$ $$\varphi_d = \varphi_b - E_5 = 0 - 10 = -10B$$ Найдем проводимости всех ветвей: $$G_1 = \frac{1}{R_1} = \frac{1}{2} = 0.5 \text{ См}$$ $$G_2 = \frac{1}{R_2} = \frac{1}{5} = 0.2 \text{ См}$$ $$G_3 = \frac{1}{R_3} = \frac{1}{3} = 0.33 \text{ См}$$ $$G_4 = \frac{1}{R_4} = \frac{1}{4} = 0.25 \text{ См}$$

Составим уравнение потенциала узла $a$. Умножаем потенциал в точке $a$ на сумму проводимостей ветвей, прилегающих к узлу $a$. Вычитаем потенциал точек $c$ и $d$, умноженных на проводимость между ними и узлом $a$. Приравниваем к сумме произведений проводимостей и ЭДС в ветвях прилегающих к узлу $a$. Знак выбираем плюс, так как ЭДС имеет направление к узлу $a$. $$\varphi_a (G_1 + G_2 + G_3) - \varphi_c G_1 - \varphi_d G_3 = E_1 G_1 + E_3 G_3$$

Выражаем из этого уравнения $\varphi_a$.

$$\varphi_a = \frac{E_1 G_1 + E_3 G_3}{(G_1 + G_2 + G_3) - \varphi_c G_1 - \varphi_d G_3}$$ $$\varphi_a = \frac{40 \cdot 0.5 + 45 \cdot 0.33}{(0.5 + 0.2 + 0.33) - 40 \cdot 0.5 + 10 \cdot 0.33} = 50 B$$

Теперь находим токи ветвей по формулам: $$I_1 = (\varphi_c - \varphi_a + E_1) G_1 = (40 - 50 + 40) \cdot 0.5 = 15 A$$ $$I_2 = (\varphi_a - \varphi_b) G_2 = (50-0) \cdot 0.2 = 10A$$ $$I_3 = (\varphi_d - \varphi_a) G_3 = (0-50+45) \cdot 0.33 = -5A$$ $$I_4 = (\varphi_d - \varphi_c) G_4 = (-10 - 40 + 90) \cdot 0.25 = 10 A$$ $$I_5 = -I_3 - I_4 = 5 - 10 = -5A$$ $$I_6 = I_1 - I_4 = 15 - 10 = 5A$$

Проверка баланса мощностей: $$I_1^2 R_1 + I_2^2 R_2 + I_3^2 R_3 + I_4^2 R_4 = E_1 I_1 + E_2 I_6 + E_3 I_3 + E_4 I_4 + E_5 I_5$$ $$I_1^2 R_1 + I_2^2 R_2 + I_3^2 R_3 + I_4^2 R_4 = 15^2 \cdot 2 + 10^2 \cdot 5 + 5^2 \cdot 3 + 10^2 \cdot 4 = 1425 \text{ Вт}$$ $$E_1 I_1 + E_2 I_6 + E_3 I_3 + E_4 I_4 + E_5 I_5 = 40 \cdot 15 + 40 \cdot 5 + 45 \cdot (-5) + 90 \cdot 10 + 10 \cdot (-5) = 1425 \text{ Вт}$$ $$1425 \text{ Вт} = 1425 \text{ Bт}$$ Баланс мощностей соблюдается, значит, задача решена верно.

---

Решение. Обозначим узлы на схеме буквами $a,b,c,d$. Любой из узлов необходимо заземлить, то есть приравнять к нулю. Выберем для этого узел $d$ и получим, что $\varphi_d = 0$.

Теперь составим уравнения для каждого узла. Умножаем потенциал $\varphi_a$ на проводимости ветвей прилегающих к узлу $a$. Из этого произведения вычитаем произведения потенциалов узлов $b$ и $c$ на соответствующие общие проводимости с узлом $a$. Приравниваем это к сумме, в которой слагаемые это ЭДС, деленные на соответствующие сопротивления. Если ЭДС направлено к узлу $a$, то его записываем со знаком плюс. В противном случае с минусом. ЭДС нужно брать только из ветвей прилегающих к узлу $a$.

$$\varphi_a (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_3}) - \varphi_b \frac{1}{R_1} - \varphi_c \frac{1}{R_3} = -\frac{E_1}{R_1}$$

Аналогично составляем уравнение для узла $b$.

$$\varphi_b(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_2}) - \varphi_a \frac{1}{R_1}-\varphi_c \frac{1}{R_2} = \frac{E_2}{R_2}$$

Так же поступаем для третьего уравнения по узлу $c$.

$$\varphi_c (\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_4}) - \varphi_a \frac{1}{R_3} - \varphi_b \frac{1}{R_2} = -\frac{E_2}{R_2}$$

Получили систему уравнений:

$$\begin{cases} \varphi_a (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_3}) - \varphi_b \frac{1}{R_1} - \varphi_c \frac{1}{R_3} = -\frac{E_1}{R_1} \\ \varphi_b(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_2}) - \varphi_a \frac{1}{R_1}-\varphi_c \frac{1}{R_2} = \frac{E_2}{R_2} \\ \varphi_c (\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_4}) - \varphi_a \frac{1}{R_3} - \varphi_b \frac{1}{R_2} = -\frac{E_2}{R_2} \end{cases}$$

Подставляем из условия задачи все известные данные, проводим вычисления и получаем систему.

$$\begin{cases} 0.4167 \varphi_a - 0.167 \varphi_b - 0.833 \varphi_c = -5.333 \\ -0.167 \varphi_a + 1.167 \varphi_b - 0.5 \varphi_c = 9 \\ -0.083\varphi_a - 0.5 \varphi_b + 0.833 \varphi_c = -9 \end{cases}$$

Решим систему любым способом и получим:

$$\varphi_a = -15.059 \text{ B}; \varphi_b = 0.389 \text{ B}; \varphi_c = -12.072 \text{ B}$$

Приступим к определению токов. Для этого, воспользуемся законом Ома для учатка цепи по формуле: $$I = \frac{\varphi_1 - \varphi_2}{R}$$

Так же нужно помнить, что потенциал в точке $d$ равен нулю: $\varphi_d = 0$.

$$I_1 = \frac{\varphi_b - \varphi_a}{R_1} = 2.575 A$$ $$I_2 = \frac{\varphi_2 - \varphi_4}{R_2} = 0.195A$$ $$I_3 = \frac{\varphi_c - \varphi_a}{R_3} = 0.249 A$$ $$I_4 = \frac{\varphi_d-\varphi_c}{R_4} = 3.018 A$$ $$I_5 = \frac{\varphi_c - \varphi_b + E_2}{R_2} = 2.769 A$$ $$I_6 = \frac{\varphi_a - \varphi_d + E_1}{R_1} = 2.823 A$$

Составим баланс мощностей, чтобы проверить решение. Мощность источников тока должна быть равна мощности потребителей: $$P_\text{ист} = P_\text{потр}$$

$$P_\text{ист} = \sum E\cdot I = E_1 I_6 + E_2 I_5 = 140.199 \text{ Вт}$$

$$P_\text{потр} = \sum I^2 R = I_1^2 R_1 + I_2 ^2 R_2 + I_3 ^2 R_3 + I_4 ^2 R_4 + I_5 ^2 R_2 + I_6 ^2 R_1 = 140.199 \text{ Вт}$$

---

Как обычно расставляем токи в ветвях в произвольном направлении и отмечаем узлы буквами $a,b,c,d$. Потенциал в одном из узлов приравниваем к нулю. Например, $\varphi_c = 0$.

Так как узлов в схеме 4, то необходимо получить 3 уравнения. Составляем уравнение для узла $a$:

$$\varphi_a (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_6+\infty}) - \varphi_b \frac{1}{R_4} - \varphi_d \frac{1}{R_6+\infty} = \frac{E_1}{R_1} - J$$

Так как ветвь $ad$ содержит в себе источник тока, то проводимость этой ветви равна $\frac{1}{R_6+\infty} = 0$. Поэтому данную ветвь в будущем не будем учитывать для составления следующих уравнений. А текущее уравнение запишем в окончательном виде:

$$\varphi_a (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_4}) - \varphi_b \frac{1}{R_4} = \frac{E_1}{R_1} - J$$

Для узла $b$ уравнение получаем в таком виде:

$$\varphi_b (\frac{1}{R_4}+\frac{1}{R_5}+\frac{1}{R_2}) - \varphi_a \frac{1}{R_4} - \varphi_d \frac{1}{R_5} = \frac{E_2}{R_2}$$

Для узла $d$ уравнение принимает вид:

$$\varphi_d(\frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_5}) - \varphi_b \frac{1}{R_5} = J$$

Таким образом, получили систему уравнений с тремя уравнениями и неизвестными $\varphi_a, \varphi_b, \varphi_d$. Находим их, а затем определяем силу тока по следующим формулам закона Ома для участков цепи:

$$I_1 = \frac{\varphi_c - \varphi_a + E_1}{R_1} = \frac{-\varphi_a + E_1}{R_1}$$

$$I_2 = \frac{\varphi_c - \varphi_b + E_2}{R_2} =  \frac{-\varphi_b + E_2}{R_2}$$

$$I_3 = \frac{\varphi_d - \varphi_c}{R_3} = \frac{\varphi_d}{R_3}$$

$$I_4 = \frac{\varphi_a - \varphi_b}{R_4}$$

$$I_5 = \frac{\varphi_b - \varphi_d}{R_5}$$

Таким образом выполняется расчет схем с источником тока. В ветви $ad$ ток равен источнику тока, поэтому вычисления не нужны.