Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Как найти?

Постановка задачи

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $ F(x,y,z) = 0 $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $

План решения

Уравнение касательной плоскости к поверхности записывается следующем образом:

$$ F'_x \bigg |_M (x-x_0) + F'_y \bigg |_M (y-y_0) + F'_z \bigg |_M (z-z_0) = 0 $$

Уравнение нормали к поверхности составляется по формуле:

$$ \frac{x-x_0}{F'_x \Big |_M} = \frac{y-y_0}{F'_y \Big |_M} = \frac{z-z_0}{F'_z \Big |_M} $$

  1. Находим частные производные $ F'_x, F'_y, F'_z $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $
  2. Подставляем найденные значения производных в формулы для составления уравнений

ЗАМЕЧАНИЕ

Если в условии задачи задана точка $ M (x_0,y_0) $ с двумя координатами, то необходимо дополнительно вычислить координату $ z_0 $ из уравнения $ F(x_0,y_0,z_0) = 0 $, подставив в него известные координаты $ x_0 $ и $ y_0 $.

Примеры решений

Пример 1
Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $ z = x^2 + y^2 $ в точке $ M(1,-2,5) $
Решение

Переносим $ z $ в правую часть и записываем поверхность в виде:

$$ F(x,y,z) = x^2 + y^2 - z $$

Находим частные производные первого порядка функции $ F(x,y,z) $:

$$ F'_x = 2x $$ $$ F'_y = 2y $$ $$ F'_z = -1 $$

Вычисляем значения полученных производных в точке $ M(1,-2,5) $:

$$ F'_x \Big |_M = F'_x(1,-2,5) = 2 \cdot 1 = 2 $$

$$ F'_y \Big |_M = F'_y (1,-2,5) = 2 \cdot (-2) = -4 $$

$$ F'_z \Big |_M = F'_z (1,-2,5) = -1 $$

Подставляем полученные данные в формулу касательной плоскости:

$$ 2(x-1) + (-4)(y+2) + (-1)(z-5) = 0 $$

Раскрываем скобки и записываем окончательное уравнение плоскости:

$$ 2x - 4y - z - 5 = 0 $$

Теперь запишем уравнение нормали к поверхности с помощью второй формулы:

$$ \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-4} = \frac{z-5}{-1} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ 2x - 4y - z - 5 = 0 $$

$$ \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-4} = \frac{z-5}{-1} $$

Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $ z = e^{x\cos y} $ в точке $ M(1,\pi, \frac{1}{e}) $
Решение

Записываем поверхность в виде: $$ F = e^{x\cos y} - z $$

Находим частные производные от функции $ F(x,y,z) $:

$$ F'_x = e^{x\cos y} \cdot (x\cos y)'_x = \cos y e^{x\cos y} $$

$$ F'_y = e^{x\cos y} \cdot (x\cos y)'_y = -x\sin y e^{x\cos y} $$

$$ F'_z = -1 $$

Вычисляем значения производных в точке $ M(1,\pi,\frac{1}{e}) $:

$$ F'_x \Big |_M = F'_x (1,\pi,\frac{1}{e}) = \cos \pi \cdot e^{1 \cdot \cos \pi} = -1 \cdot e^{(-1)} = -e^{-1} $$

$$ F'_y \Big |_M = F'_y (1,\pi, \frac{1}{e}) = -1 \cdot \sin \pi \cdot e^{1 \cdot \cos \pi} = -1 \cdot 0 \cdot e^1 = 0 $$

$$ F'_z \Big |_M = -1 $$

Подставляем в первую формулу касательной плоскости полученные ранее неизвестные данные:

$$ -e^{-1}(x-1) + 0 \cdot (y-\pi) + (-1) \cdot (z-\frac{1}{e}) = 0 $$

Раскрываем скобки:

$$ -x\frac{1}{e} + \frac{1}{e} - z + \frac{1}{e} = 0 $$

Домножаем обе части уравнения на $ -e $ и получаем окончательное уравнение плоскости:

$$ x + ez - 2 = 0 $$

Используя вторую формулу находим уравнение нормали к поверхности:

$$ \frac{x-1}{-e^{-1}} = \frac{y-\pi}{0} = \frac{z-e^{-1}}{-1} $$

Умножим уравнение на дробь $ \frac{1}{-e} $:

$$ \frac{x-1}{1} = \frac{y-\pi}{0} = \frac{z-e^{-1}}{e} $$

Ответ
$$ x + ez - 2 = 0 $$ $$ \frac{x-1}{1} = \frac{y-\pi}{0} = \frac{z-e^{-1}}{e} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ