Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Частные производные

Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом).

Формула

Частные производные для функции двух переменных $ z(x,y) $ записываются в следующем виде $ z'_x, z'_y $ и находятся по формулам:

Частные производные первого порядка

$$ z'_x = \frac{\partial z}{\partial x} $$

$$ z'_y = \frac{\partial z}{\partial y} $$

Частные производные второго порядка

$$ z''_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial x} $$

$$ z''_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial y} $$

Смешанная производная

$$ z''_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $$

$$ z''_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} $$

Частная производная сложной функции

а) Пусть $ z (t) = f( x(t), y(t) ) $, тогда производная сложной функции определяется по формуле:

$$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} $$

б) Пусть $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогда частные производные функции находится по формуле: 

$$ \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u} $$

$$ \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v} $$

Частные производные неявно заданной функции

а) Пусть $ F(x,y(x)) = 0 $, тогда $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{f'_x}{f'_y} $$

б) Пусть $ F(x,y,z)=0 $, тогда $$ z'_x = - \frac{F'_x}{F'_z}; z'_y = - \frac{F'_y}{F'_z} $$

Примеры решений

Пример 1
Найти частные производные первого порядка $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $
Решение

Для нахождения частной производной по $ x $ будем считать $ y $ постоянной величиной (числом):

$$ z'_x = (x^2-y^2+4xy+10)'_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$

Для нахождения частной производной функции по $ y $ определим $ y $ константой:

$$ z'_y = (x^2-y^2+4xy+10)'_y = -2y+4x $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ z'_x = 2x+4y; z'_y = -2y+4x $$
Пример 2
Найти частные производные функции второго порядка $ z = e^{xy} $
Решение

Сперва нужно найти первый производные, а затем зная их можно найти производные второго порядка.

Полагаем $ y $ константой:

$$ z'_x = (e^{xy})'_x = e^{xy} \cdot (xy)'_x = ye^{xy} $$

Положим теперь $ x $ постоянной величиной:

$$ z'_y = (e^{xy})'_y = e^{xy} \cdot (xy)'_y = xe^{xy} $$

Зная первые производные аналогично находим вторые.

Устанавливаем $ y $ постоянной:

$$ z''_{xx} = (z'_x)'_x = (ye^{xy})'_x = (y)'_x e^{xy} + y(e^{xy})'_x = 0 + ye^{xy}\cdot (xy)'_x = y^2e^{xy} $$

Задаем $ x $ постоянной:

$$ z''_{yy} = (z'_y)'_y = (xe^{xy})'_y = (x)'_y e^{xy} + x(e^{xy})'_y = 0 + x^2e^{xy} = x^2e^{xy} $$

Теперь осталось найти смешанную производную. Можно продифференцировать $ z'_x $ по $ y $, а можно $ z'_y $ по $ x $, так как по теореме $ z''_{xy} = z''_{yx} $

$$ z''_{xy} = (z'_x)'_y = (ye^{xy})'_y = (y)'_y e^{xy} + y (e^{xy})'_y = ye^{xy}\cdot (xy)'_y = yxe^{xy} $$

Ответ
$$ z'_x = ye^{xy}; z'_y = xe^{xy}; z''_{xy} = yxe^{xy} $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 3
Найти частную производную сложной функции $ z = x^2 + y^2, x = \sin t, y = t^3 $
Решение

Находим $ \frac{\partial z}{\partial x} $:

$$ \frac{\partial z}{\partial x} = (x^2+y^2)'_x = 2x $$

Находим $ \frac{\partial z}{\partial y} $:

$$ \frac{\partial z}{\partial y} = (x^2+y^2)'_y = 2y $$

Теперь ищем $ \frac{dx}{dt} $ и $ \frac{dy}{dt} $:

$$ \frac{dx}{dt} = \frac{d(\sin t)}{dt} = \cos t $$

$$ \frac{dy}{dt} = \frac{d(t^3)}{dt} = 3t^2 $$

Подставляем всё это в формулу и записываем ответ:

$$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} $$

$$ \frac{dz}{dt} = 2x \cdot \cos t + 2y \cdot 3t^2 $$

Ответ
$$ \frac{dz}{dt} = 2x \cdot \cos t + 2y \cdot 3t^2 $$
Пример 4
Пусть $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ задаёт неявную функцию $ F(x,y,z) = 0 $. Найти частные производные первого порядка.
Решение

Записываем функцию в формате: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ и находим производные:

$$ z'_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)'_x = 3 x^2 z - 4 $$

$$ z'_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)'_y = 3z^2 $$

Ответ
$$ z'_x = 3x^2 z - 4; z'_y = 3z^2; $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ