Частные производные
Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом).
Формула
Частные производные для функции двух переменных $ z(x,y) $ записываются в следующем виде $ z'_x, z'_y $ и находятся по формулам:
Частные производные первого порядка
$$ z'_x = \frac{\partial z}{\partial x} $$
$$ z'_y = \frac{\partial z}{\partial y} $$
Частные производные второго порядка
$$ z''_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial x} $$
$$ z''_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial y} $$
Смешанная производная
$$ z''_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $$
$$ z''_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} $$
Частная производная сложной функции
а) Пусть $ z (t) = f( x(t), y(t) ) $, тогда производная сложной функции определяется по формуле:
$$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} $$
б) Пусть $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогда частные производные функции находится по формуле:
$$ \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u} $$
$$ \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v} $$
Частные производные неявно заданной функции
а) Пусть $ F(x,y(x)) = 0 $, тогда $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{f'_x}{f'_y} $$
б) Пусть $ F(x,y,z)=0 $, тогда $$ z'_x = - \frac{F'_x}{F'_z}; z'_y = - \frac{F'_y}{F'_z} $$
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти частные производные первого порядка $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $ |
| Решение |
|
Для нахождения частной производной по $ x $ будем считать $ y $ постоянной величиной (числом): $$ z'_x = (x^2-y^2+4xy+10)'_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Для нахождения частной производной функции по $ y $ определим $ y $ константой: $$ z'_y = (x^2-y^2+4xy+10)'_y = -2y+4x $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ z'_x = 2x+4y; z'_y = -2y+4x $$ |
| Пример 2 |
| Найти частные производные функции второго порядка $ z = e^{xy} $ |
| Решение |
|
Сперва нужно найти первый производные, а затем зная их можно найти производные второго порядка. Полагаем $ y $ константой: $$ z'_x = (e^{xy})'_x = e^{xy} \cdot (xy)'_x = ye^{xy} $$ Положим теперь $ x $ постоянной величиной: $$ z'_y = (e^{xy})'_y = e^{xy} \cdot (xy)'_y = xe^{xy} $$ Зная первые производные аналогично находим вторые. Устанавливаем $ y $ постоянной: $$ z''_{xx} = (z'_x)'_x = (ye^{xy})'_x = (y)'_x e^{xy} + y(e^{xy})'_x = 0 + ye^{xy}\cdot (xy)'_x = y^2e^{xy} $$ Задаем $ x $ постоянной: $$ z''_{yy} = (z'_y)'_y = (xe^{xy})'_y = (x)'_y e^{xy} + x(e^{xy})'_y = 0 + x^2e^{xy} = x^2e^{xy} $$ Теперь осталось найти смешанную производную. Можно продифференцировать $ z'_x $ по $ y $, а можно $ z'_y $ по $ x $, так как по теореме $ z''_{xy} = z''_{yx} $ $$ z''_{xy} = (z'_x)'_y = (ye^{xy})'_y = (y)'_y e^{xy} + y (e^{xy})'_y = ye^{xy}\cdot (xy)'_y = yxe^{xy} $$ |
| Ответ |
| $$ z'_x = ye^{xy}; z'_y = xe^{xy}; z''_{xy} = yxe^{xy} $$ |
| Пример 3 |
| Найти частную производную сложной функции $ z = x^2 + y^2, x = \sin t, y = t^3 $ |
| Решение |
|
Находим $ \frac{\partial z}{\partial x} $: $$ \frac{\partial z}{\partial x} = (x^2+y^2)'_x = 2x $$ Находим $ \frac{\partial z}{\partial y} $: $$ \frac{\partial z}{\partial y} = (x^2+y^2)'_y = 2y $$ Теперь ищем $ \frac{dx}{dt} $ и $ \frac{dy}{dt} $: $$ \frac{dx}{dt} = \frac{d(\sin t)}{dt} = \cos t $$ $$ \frac{dy}{dt} = \frac{d(t^3)}{dt} = 3t^2 $$ Подставляем всё это в формулу и записываем ответ: $$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} $$ $$ \frac{dz}{dt} = 2x \cdot \cos t + 2y \cdot 3t^2 $$ |
| Ответ |
| $$ \frac{dz}{dt} = 2x \cdot \cos t + 2y \cdot 3t^2 $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ