Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов

Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам. Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Частные производные

Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом).

Частные производные для функции двух переменных записываются в следующем виде  и находятся по формулам:

Частные производные первого порядка

Частные производные второго порядка

Смешанная производная

Частная производная сложной функции

а) Пусть , тогда производная сложной функции определяется по формуле:

б) Пусть , тогда частные производные функции находится по формуле: 

Частные производные неявно заданной функции

а) Пусть , тогда

б) Пусть , тогда

Примеры решений частных производных

Пример 1
Найти частные производные первого порядка
Решение

Для нахождения частной производной по будем считать постоянной величиной (числом):

Для нахождения частной производной функции по определим константой:

Ответ
Пример 2
Найти частные производные функции второго порядка
Решение

Сперва нужно найти первый производные, а затем зная их можно найти производные второго порядка.

Полагаем константой:

Положим теперь постоянной величиной:

Зная первые производные аналогично находим вторые.

Устанавливаем постоянной:

Задаем постоянной:

Теперь осталось найти смешанную производную. Можно продифференцировать по , а можно по , так как по теореме

Ответ
Пример 3
Найти частную производную сложной функции
Решение

Находим :

Находим :

Теперь ищем и :

Подставляем всё это в формулу и записываем ответ:

Ответ
Пример 4
Пусть задаёт неявную функцию . Найти частные производные первого порядка.
Решение

Записываем функцию в формате:  и находим производные:

Ответ

В текущей статье: "Частные производные функций" были даны формулы и практические примеры по нахождению частной производной.

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ