Смешанная частная производная
Смешанная частная производная второго порядка функции $ z = f(x_1,x_2) $ по переменным $ x_1 $ и $ x_2 $ обозначается: $ \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2} $ или $ z''_{x_1 x_2} $
Порядок дифференцирования не имеет значения, то есть выполняется свойство:
$$ \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2} = \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2} $$
$$ z''_{xy} = z''_{yx} $$
- Фиксируем $ x_2 $. Считая функцию $ z = f(x_1,x_2) $ одной переменной от $ x_1 $ находим её производную $ z'_{x_1} $
- Фиксируем $ x_1 $ и по правилу дифференцирования функции одной переменной находим производную функции $ z = f(x_1,x_2) $ по $ x_2 $ и получаем $ z''_{x_1 x_2} $
| Пример 1 |
| Найти смешанную частную производную функции $ z(x,y) = \ln (x+y) $ |
| Решение |
|
Фиксируем переменную $ x $ и находим производную по $ y $: $$ z'_y = \frac{1}{x+y} \cdot (x+y)'_y = \frac{1}{x+y} $$ Считая переменную $ y $ постоянной дифференцируем функцию $ z'_y $ по $ x $: $$ z''_{yx} = -\frac{1}{(x+y)^2} \cdot (x+y)'_x = -\frac{1}{(x+y)^2} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ z''_{xy} = z''_{yx} = -\frac{1}{(x+y)^2} $$ |
| Пример 2 |
| Найти смешанную производную функции $ z(x,y) = \sin x \cos y $ |
| Решение |
|
Фиксируем переменную $ y $ и выполняем дифференцирование по $ x $: $$ z'_x (y = const) = \cos x \cos y $$ Считаем постоянной $ x $ и находим производную по $ y $: $$ z'_{xy} (x = const) = -\cos x \sin y $$ |
| Ответ |
| $$ z'_{xy} = z'_{yx} = -\cos x \sin y $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ