Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Смешанная частная производная

Как найти?

Постановка задачи

Найти смешанную частную производную второго порядка функции $ z = f(x_1,x_2) $

План решения

Смешанная частная производная второго порядка функции $ z = f(x_1,x_2) $ по переменным $ x_1 $ и $ x_2 $ обозначается: $ \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2} $  или $ z''_{x_1 x_2} $

Порядок дифференцирования не имеет значения, то есть выполняется свойство:

$$ \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2} = \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2} $$

$$ z''_{xy} = z''_{yx} $$

  1. Фиксируем $ x_2 $. Считая функцию $ z = f(x_1,x_2) $ одной переменной от $ x_1 $ находим её производную $ z'_{x_1} $
  2. Фиксируем $ x_1 $ и по правилу дифференцирования функции одной переменной находим производную функции $ z = f(x_1,x_2) $ по $ x_2 $ и получаем $ z''_{x_1 x_2} $

Примеры решений

Пример 1
Найти смешанную частную производную функции $ z(x,y) = \ln (x+y) $
Решение

Фиксируем переменную $ x $ и находим производную по $ y $:

$$ z'_y = \frac{1}{x+y} \cdot (x+y)'_y = \frac{1}{x+y} $$

Считая переменную $ y $ постоянной дифференцируем функцию $ z'_y $ по $ x $:

$$ z''_{yx} = -\frac{1}{(x+y)^2} \cdot (x+y)'_x = -\frac{1}{(x+y)^2} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ z''_{xy} = z''_{yx} = -\frac{1}{(x+y)^2} $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Найти смешанную производную функции $ z(x,y) = \sin x \cos y $
Решение

Фиксируем переменную $ y $ и выполняем дифференцирование по $ x $:

$$ z'_x (y = const) = \cos x \cos y $$

Считаем постоянной $ x $ и находим производную по $ y $:

$$ z'_{xy} (x = const) = -\cos x \sin y $$

Ответ
$$ z'_{xy} = z'_{yx} = -\cos x \sin y $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ