Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Градиент функции

Как найти?

Постановка задачи

Найти градиент функции $ f(x,y,z) $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $

План решения

Градиент функции $ f(x,y,z) $ - это вектор, каждая координата которого является частной производной первого порядка этой функции:

$$ grad f = \frac{\partial f}{\partial x} \overline {i} + \frac{\partial f}{\partial y} \overline{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \overline {k} $$

  1. Берём частные производные первого порядка от функции $ f(x,y,z) $:
    $$ \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} $$
  2. Вычисляем полученные производные в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $:
    $$ \frac{\partial f}{\partial x} \bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)}, \frac{\partial f}{\partial y} \bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)}, \frac{\partial f}{\partial z} \bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)} $$
  3. Подставляем, полученные данные в формулу градиента функции:
    $$ grad f \bigg |_M = \frac{\partial f}{\partial x} \bigg |_M \overline{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \bigg |_M \overline{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \bigg |_M \overline{k} $$

Примеры решений

Пример 1
Найти градиент функции $ u = x + \ln (z^2+y^2) $ в точке $ M(2,1,1) $
Решение

Находим частные производные первого порядка функции трёх переменных:
$$ \frac{\partial f}{\partial x} = 1; \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2y}{z^2+y^2}; \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{2z}{z^2+y^2} $$

Вычисляем значение производных в точке $ M(2,1,1) $:

$$ \frac{\partial f}{\partial x} \bigg |_{M(2,1,1)} = 1 $$

$$ \frac{\partial f}{\partial y} \bigg |_{M(2,1,1)} = \frac{2 \cdot 1}{1^2+1^2} = \frac{2}{2}=1 $$

$$ \frac{\partial f}{\partial z} \bigg |_{M(2,1,1)} = \frac{2\cdot 1}{1^2 + 1^2} = \frac{2}{2}=1 $$

Подставляем в формулу градиента функции полученные данные:

$$ grad f = 1 \cdot \overline{i} + 1 \cdot \overline{j} + 1 \cdot \overline{k} = \overline{i}+\overline{j}+\overline{k} $$

Запишем ответ в координатной форме:

$$ grad f = \overline{i}+\overline{j}+\overline{k} = (1,1,1) $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ grad f = (1,1,1) $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Найти градиент функции $ u = \sin(x+2y)+2\sqrt{xyz} $ в точке $ M \bigg (\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},3 \bigg ) $
Решение

Находим частные производные:

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = \cos(x+2y) + \frac{yz}{\sqrt{xyz}} $$

$$ \frac{\partial f}{\partial y} = 2\cos(x+2y) + \frac{xz}{\sqrt{xyz}} $$

$$ \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{xy}{\sqrt{xyz}} $$

Вычисляем значения производных в точке $ M \bigg (\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},3 \bigg ) $:

$$ \frac{\partial f}{\partial x} \bigg |_{M(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},3)} = \cos(\frac{\pi}{2}+3\pi)+ \frac{\frac{9\pi}{2}}{\sqrt{\frac{9\pi^2}{4}}} = \cos \frac{7\pi}{2} + \sqrt{9} = 3 $$

$$ \frac{\partial f}{\partial y} \bigg |_{M(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},3)} = 2 \cos(\frac{\pi}{2}+3\pi) + \frac{\frac{3\pi}{2}}{\sqrt{\frac{9\pi^2}{4}}} = 2 \cos \frac{7\pi}{2} + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1 $$

$$ \frac{\partial f}{\partial y} \bigg |_{M(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},3)} = \frac{\frac{3\pi^2}{4}}{\sqrt{\frac{9\pi^2}{4}}} = \sqrt{\frac{\pi^2}{4}} = \frac{\pi}{2} $$

Подставляем вычисленные недостающие данные в формулу и получаем:

$$ grad f = 3 \cdot \overline{i}+ 1 \cdot \overline{j} + \frac{\pi}{2} \cdot \overline{k} = 3\overline{i}+\overline{j}+\frac{\pi}{2} \overline{k} $$

Записываем ответ в координатной форме:

$$ grad f = (3,1,\frac{\pi}{2}) $$

Ответ
$$ grad f = (3,1,\frac{\pi}{2}) $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ