Градиент функции
Градиент функции $ f(x,y,z) $ - это вектор, каждая координата которого является частной производной первого порядка этой функции:
$$ grad f = \frac{\partial f}{\partial x} \overline {i} + \frac{\partial f}{\partial y} \overline{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \overline {k} $$
- Берём частные производные первого порядка от функции $ f(x,y,z) $:
$$ \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} $$ - Вычисляем полученные производные в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $:
$$ \frac{\partial f}{\partial x} \bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)}, \frac{\partial f}{\partial y} \bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)}, \frac{\partial f}{\partial z} \bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)} $$ - Подставляем, полученные данные в формулу градиента функции:
$$ grad f \bigg |_M = \frac{\partial f}{\partial x} \bigg |_M \overline{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \bigg |_M \overline{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \bigg |_M \overline{k} $$
| Пример 1 |
| Найти градиент функции $ u = x + \ln (z^2+y^2) $ в точке $ M(2,1,1) $ |
| Решение |
|
Находим частные производные первого порядка функции трёх переменных: Вычисляем значение производных в точке $ M(2,1,1) $: $$ \frac{\partial f}{\partial x} \bigg |_{M(2,1,1)} = 1 $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y} \bigg |_{M(2,1,1)} = \frac{2 \cdot 1}{1^2+1^2} = \frac{2}{2}=1 $$ $$ \frac{\partial f}{\partial z} \bigg |_{M(2,1,1)} = \frac{2\cdot 1}{1^2 + 1^2} = \frac{2}{2}=1 $$ Подставляем в формулу градиента функции полученные данные: $$ grad f = 1 \cdot \overline{i} + 1 \cdot \overline{j} + 1 \cdot \overline{k} = \overline{i}+\overline{j}+\overline{k} $$ Запишем ответ в координатной форме: $$ grad f = \overline{i}+\overline{j}+\overline{k} = (1,1,1) $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ grad f = (1,1,1) $$ |
| Пример 2 |
| Найти градиент функции $ u = \sin(x+2y)+2\sqrt{xyz} $ в точке $ M \bigg (\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},3 \bigg ) $ |
| Решение |
|
Находим частные производные: $$ \frac{\partial f}{\partial x} = \cos(x+2y) + \frac{yz}{\sqrt{xyz}} $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y} = 2\cos(x+2y) + \frac{xz}{\sqrt{xyz}} $$ $$ \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{xy}{\sqrt{xyz}} $$ Вычисляем значения производных в точке $ M \bigg (\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},3 \bigg ) $: $$ \frac{\partial f}{\partial x} \bigg |_{M(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},3)} = \cos(\frac{\pi}{2}+3\pi)+ \frac{\frac{9\pi}{2}}{\sqrt{\frac{9\pi^2}{4}}} = \cos \frac{7\pi}{2} + \sqrt{9} = 3 $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y} \bigg |_{M(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},3)} = 2 \cos(\frac{\pi}{2}+3\pi) + \frac{\frac{3\pi}{2}}{\sqrt{\frac{9\pi^2}{4}}} = 2 \cos \frac{7\pi}{2} + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1 $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y} \bigg |_{M(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},3)} = \frac{\frac{3\pi^2}{4}}{\sqrt{\frac{9\pi^2}{4}}} = \sqrt{\frac{\pi^2}{4}} = \frac{\pi}{2} $$ Подставляем вычисленные недостающие данные в формулу и получаем: $$ grad f = 3 \cdot \overline{i}+ 1 \cdot \overline{j} + \frac{\pi}{2} \cdot \overline{k} = 3\overline{i}+\overline{j}+\frac{\pi}{2} \overline{k} $$ Записываем ответ в координатной форме: $$ grad f = (3,1,\frac{\pi}{2}) $$ |
| Ответ |
| $$ grad f = (3,1,\frac{\pi}{2}) $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ