Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Частные производные первого порядка

Как найти?

Постановка задачи

Найти частные производные первого порядка функции $ z = f(x_1,x_2,x_3,...,x_n) $

План решения

Частные производные первого порядка функции $ z = f(x_1,x_2,...,x_n) $ по переменной $ x_k $ обозначаются двумя способами: $ z'_{x_k} $ или $ \frac{\partial z}{\partial x_k} $

  1. Фиксируем все переменные, входящие в функцию $ z = f(x_1,x_2,...,x_n) $ кроме переменной $ x_k $
  2. Считая функцию $ z = f(x_1,x_2,...,x_n) $ зависимой только от одной переменной $ x_k $ находим её производную, как для функции одной переменной

Примеры решений

Пример 1
Найти частные производные первого порядка функции $ z = e^{xy} $
Решение

Для нахождения частной производной по переменной $ x $ будем считать константой $ y $. Далее выполним дифференцирование по правилу сложной функции одной переменной, зависящей от $ x $:

$$ z'_x (y = const) = ye^{xy} $$

Аналогично находим первую частную производную по $ y $ путём фиксирования $ x $:

$$ z'_y (x = const) = xe^{xy} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$ z'_x = ye^{xy} $ и $ z'_y = xe^{xy} $
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Найти частную производную первого порядка функции $ z = \sqrt{x^2+y^2} $
Решение

Фиксируем переменную $ y $ для нахождения производной по $ x $ и дифференцируем по правилу сложной производной функции одной переменной:

$$ z'_x (y = const) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \cdot (x^2+y^2)'_x = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} $$

Аналогично находим частную производную по $ y $ путём фиксирования $ x $:

$$ z'_y (x = const) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \cdot (x^2+y^2)'_y = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} $$

Ответ
$$ z'_x = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}; z'_y = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ