Производная функции по направлению
Как найти?
Постановка задачи
Найти производную функции $ u(x,y,z) $ в точке $ M (x_1,y_1,z_1) $ по направлению вектора $ \overline{l} = (l_x,l_y,l_z) $
План решения
Если для функции $ u(x,y,z) $ существует производная в точке $ M(x_1,y_1,z_1) $, то значит в этой точке существует производная по любому направлению $ \overline{l} $ и находится по формуле:
$$ \frac{\partial u}{\partial l} = \frac{\partial u}{\partial x} \bigg |_M \cdot \cos \alpha + \frac{\partial u}{\partial y} \bigg |_M \cdot \cos \beta + \frac{\partial u}{\partial z} \bigg |_M \cdot \cos \gamma $$
- Находим частные производные первого порядка:
$$ \frac{\partial u}{\partial x}; \frac{\partial u}{\partial y}; \frac{\partial u}{\partial z} $$ - Вычисляем полученные производные в точке $ M(x_1,y_1,z_1) $:
$$ \frac{\partial u}{\partial x} \bigg |_{M(x_1,y_1,z_1)}; \frac{\partial u}{\partial y} \bigg |_{M(x_1,y_1,z_1)}; \frac{\partial u}{\partial z} \bigg |_{M(x_1,y_1,z_1)} $$ - Получаем направляющие косинусы по формулам:
$$ \cos \alpha = \frac{l_x}{|\overline{l}|}; \cos \beta = \frac{l_y}{|\overline{l}|}; \cos \gamma = \frac{l_z}{|\overline{l}|} $$ - Подставляем все полученные данные в формулу и записываем ответ
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти производную функции $ u = x+\ln(z^2+y^2) $ в точке $ M (2,1,1) $ по направлению вектора $ \overline{l} = (-2,1,-1) $ |
| Решение |
|
Находим частные производные первого порядка и вычисляем их начение в точке $ M $: $$ \frac{\partial u}{\partial x} = 1; \frac{\partial u}{\partial x} \bigg |_{M(2,1,1)} = 1 $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2y}{z^2+y^2}; \frac{\partial u}{\partial y} \bigg |_{M(2,1,1)}=1 $$ $$ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{2z}{z^2+y^2}; \frac{\partial u}{\partial z} \bigg |_{M(2,1,1)} = 1 $$ Вычисляем направляющие косинусы: $$ \cos \alpha = \frac{-2}{\sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2}} = \frac{-2}{\sqrt{6}} $$ $$ \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{6}} $$ $$ \cos \gamma = \frac{-1}{\sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2}} = - \frac{1}{\sqrt{6}} $$ Подставляем полученные частные производные в точке $ M $ и направляющие косинусы в формулу: $$ \frac{\partial u}{\partial l} = 1 \cdot (-\frac{2}{\sqrt{6}}) + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} + 1 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{6}}) = -\frac{2}{\sqrt{6}} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \frac{\partial u}{\partial l} = -\frac{2}{\sqrt{6}} $$ |
| Пример 2 |
| Найти производную $ u = xy - \frac{x}{z} $ в точке $ M(-4,3,-1) $ по направлению вектора $ \overline{l} = (5,1,-1) $ |
| Решение |
|
Берем частные производные первого порядка от функции в точке $ M(-4,3,-1) $: $$ \frac{\partial u}{\partial x} = y - \frac{1}{z}; \frac{\partial u}{\partial x} \bigg |_{M(-4,3,-1)} = 4 $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} = x; \frac{\partial u}{\partial y} \bigg |_{M(-4,3,-1)} = -4 $$ $$ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{x}{z^2}; \frac{\partial u}{\partial z} \bigg |_{M(-4,3,-1)} = -4 $$ Вычисляем направляющие косинусы: $$ \cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{5^2+1^2+(-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{27}} $$ $$ \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{5^2+1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{27}} $$ $$ \cos \gamma = \frac{-1}{\sqrt{5^2+1^2+(-1)^2}} = \frac{-1}{\sqrt{27}} $$ По формуле производной по направлению получаем ответ: $$ \frac{\partial u}{\partial l} = 4 \cdot \frac{5}{\sqrt{27}} + (-4) \cdot \frac{1}{\sqrt{27}} + (-4) \cdot \frac{-1}{\sqrt{27}} = \frac{20}{\sqrt{27}} $$ |
| Ответ |
| $$ \frac{\partial u}{\partial l} = \frac{20}{\sqrt{27}} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ