Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Производная функции по направлению

Как найти?

Постановка задачи

Найти производную функции $ u(x,y,z) $ в точке $ M (x_1,y_1,z_1) $ по направлению вектора $ \overline{l} = (l_x,l_y,l_z) $

План решения

Если для функции $ u(x,y,z) $ существует производная в точке $ M(x_1,y_1,z_1) $, то значит в этой точке существует производная по любому направлению $ \overline{l} $ и находится по формуле:

$$ \frac{\partial u}{\partial l} = \frac{\partial u}{\partial x} \bigg |_M \cdot \cos \alpha + \frac{\partial u}{\partial y} \bigg |_M \cdot \cos \beta + \frac{\partial u}{\partial z} \bigg |_M \cdot \cos \gamma $$

  1. Находим частные производные первого порядка:
    $$ \frac{\partial u}{\partial x}; \frac{\partial u}{\partial y}; \frac{\partial u}{\partial z} $$
  2. Вычисляем полученные производные в точке $ M(x_1,y_1,z_1) $:
    $$ \frac{\partial u}{\partial x} \bigg |_{M(x_1,y_1,z_1)}; \frac{\partial u}{\partial y} \bigg |_{M(x_1,y_1,z_1)}; \frac{\partial u}{\partial z} \bigg |_{M(x_1,y_1,z_1)} $$
  3. Получаем направляющие косинусы по формулам:
    $$ \cos \alpha = \frac{l_x}{|\overline{l}|}; \cos \beta = \frac{l_y}{|\overline{l}|}; \cos \gamma = \frac{l_z}{|\overline{l}|} $$
  4. Подставляем все полученные данные в формулу и записываем ответ

Примеры решений

Пример 1
Найти производную функции $ u = x+\ln(z^2+y^2) $ в точке $ M (2,1,1) $ по направлению вектора $ \overline{l} = (-2,1,-1) $
Решение

Находим частные производные первого порядка и вычисляем их начение в точке $ M $:

$$ \frac{\partial u}{\partial x} = 1; \frac{\partial u}{\partial x} \bigg |_{M(2,1,1)} = 1 $$

$$ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2y}{z^2+y^2}; \frac{\partial u}{\partial y} \bigg |_{M(2,1,1)}=1 $$

$$ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{2z}{z^2+y^2}; \frac{\partial u}{\partial z} \bigg |_{M(2,1,1)} = 1 $$

Вычисляем направляющие косинусы:

$$ \cos \alpha = \frac{-2}{\sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2}} = \frac{-2}{\sqrt{6}} $$

$$ \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{6}} $$

$$ \cos \gamma = \frac{-1}{\sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2}} = - \frac{1}{\sqrt{6}} $$

Подставляем полученные частные производные в точке $ M $ и направляющие косинусы в формулу:

$$ \frac{\partial u}{\partial l} = 1 \cdot (-\frac{2}{\sqrt{6}}) + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} + 1 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{6}}) = -\frac{2}{\sqrt{6}} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \frac{\partial u}{\partial l} = -\frac{2}{\sqrt{6}} $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Найти производную $ u = xy - \frac{x}{z} $ в точке $ M(-4,3,-1) $ по направлению вектора $ \overline{l} = (5,1,-1) $
Решение

Берем частные производные первого порядка от функции в точке $ M(-4,3,-1) $:

$$ \frac{\partial u}{\partial x} = y - \frac{1}{z}; \frac{\partial u}{\partial x} \bigg |_{M(-4,3,-1)} = 4 $$

$$ \frac{\partial u}{\partial y} = x; \frac{\partial u}{\partial y} \bigg |_{M(-4,3,-1)} = -4 $$

$$ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{x}{z^2}; \frac{\partial u}{\partial z} \bigg |_{M(-4,3,-1)} = -4 $$

Вычисляем направляющие косинусы:

$$ \cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{5^2+1^2+(-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{27}} $$

$$ \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{5^2+1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{27}} $$

$$ \cos \gamma = \frac{-1}{\sqrt{5^2+1^2+(-1)^2}} = \frac{-1}{\sqrt{27}} $$

По формуле производной по направлению получаем ответ:

$$ \frac{\partial u}{\partial l} = 4 \cdot \frac{5}{\sqrt{27}} + (-4) \cdot \frac{1}{\sqrt{27}} + (-4) \cdot \frac{-1}{\sqrt{27}} = \frac{20}{\sqrt{27}} $$

Ответ
$$ \frac{\partial u}{\partial l} = \frac{20}{\sqrt{27}} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ