Полная производная функции
Пусть задана функция $ z = f(u,v) $, где $ u = g_1(x) $ и $ v = g_2(x) $. Требуется найти полную производную функции.
Так как функции $ u = g_1(x), v = g_2(x) $ зависят только от одной переменной $ x $, то полная производная функции $ z = f(u,v) $ находится по формуле:
$$ \frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{du}{dx} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{dv}{dx} $$
Если же функция $ u = x $, а функция $ v = g_2(x) $, то полная производная записывается формулой:
$$ \frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{dv}{dx} $$
- Находим производные первого порядка, требующиеся в формуле
- Подставляем в формулу и записываем ответ
| Пример 1 |
| Найти полную производную функции $ z = \cos \frac{u}{v} $, где $ u = e^x $ и $ v = x^2-1 $ |
| Решение |
|
Найдем частные производные функции $ z(u,v) $ по $ u $ и $ v $: $$ \frac{\partial z}{\partial u} = -\frac{1}{v} \sin \frac{u}{v} $$ $$ \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{u}{v^2} \sin \frac{u}{v} $$ Найдем частные производные от $ u(x) $ и $ v(x) $ по $ x $: $$ \frac{du}{dx} = e^x $$ $$ \frac{dv}{dx} = 2x $$ Используя формулу для полной производной получаем: $$ \frac{dz}{dx} = -\frac{1}{v} \sin \frac{u}{v} \cdot 2x + \frac{u}{v^2} \sin \frac{u}{v} \cdot 2x = $$ $$ = \bigg (\frac{u}{v} - 1 \bigg ) \frac{1}{v} \sin \frac{u}{v} 2x = \frac{u-v}{v^2} \sin \frac{u}{v}2x $$ Заменяя $ u $ и $ v $ выражениями через переменную $ x $ записываем ответ: $$ \frac{dz}{dx} = \frac{e^x-x^2+1}{(x^2-1)^2} \sin \frac{e^x}{x^2-1} 2x $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \frac{dz}{dx} = 2x \frac{e^x-x^2+1}{(x^2-1)^2} \sin \frac{e^x}{x^2-1} $$ |
| Пример 2 |
| Найти полную производную функции $ z = uv $, где $ u = x^2 $ и $ v = \sin x $ |
| Решение |
|
Находим частные производные функции $ z = uv $ по $ u $ и $ v $: $$ \frac{\partial z}{\partial u} = v $$ $$ \frac{\partial z}{\partial v} = u $$ Берем частные производные для функций $ u = x^2 $ и $ v = \sin x $ по переменной $ x $: $$ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x $$ $$ \frac{\partial v}{\partial x} = \cos x $$ Подставляем в формулу все полученные данные: $$ \frac{dz}{dx} = v \cdot 2x + u \cdot \cos x $$ Вместо $ u $ и $ v $ подставляем функции от $ x $ и записываем ответ: $$ \frac{dz}{dx} = \sin x \cdot 2x + x^2 \cdot \cos x = 2x \sin x + x^2 \cos x $$ |
| Ответ |
| $$ \frac{dz}{dx} = 2x \sin x + x^2 \cos x $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ