Частная производная функции в точке
Значение частной производной в точке обозначается и вычисляется по формуле:
$$ \frac{\partial u}{\partial x} \bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)} = \frac{\partial u}{\partial x} (x_0,y_0,z_0) $$
$$ \frac{\partial u}{\partial y} \bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)} = \frac{\partial u}{\partial y} (x_0,y_0,z_0) $$
$$ \frac{\partial u}{\partial z} \bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)} = \frac{\partial u}{\partial z} (x_0,y_0,z_0) $$
- Находим частные производные, к примеру первого порядка:
$$ \frac{\partial u}{\partial x}; \frac{\partial u}{\partial y}; \frac{\partial u}{\partial z} $$ - Подставляем координаты $ x_0,y_0,z_0 $ точки $ M $ в полученные частные производные вместо $ x,y,z $:
$$ \frac{\partial u}{\partial x} (x_0,y_0,z_0); \frac{\partial u}{\partial y} (x_0,y_0,z_0); \frac{\partial u}{\partial z} (x_0,y_0,z_0) $$ - Вычисляем выражения и записываем ответ
| Пример 1 |
| Найти частную производную функции $ u = xy + \ln(y^3+z^3) $ в точке $ M(1,2,3) $ |
| Решение |
|
Берем частные производные первого порядка: $$ \frac{\partial u}{\partial x} = y $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} = x + \frac{3y^2}{y^3+z^3} $$ $$ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{3z^2}{y^3+z^3} $$ Подставляем координаты точки $ M $ вместо $ x,y,z $ в полученные выражения и находим значения частных производных в точке: $$ \frac{\partial u}{\partial x} (1,2,3) = 2 $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} (1,2,3) = 1 + \frac{3 \cdot 4}{8+27} = 1 + \frac{12}{35} = 1.34 $$ $$ \frac{\partial u}{\partial z} (1,2,3) = \frac{3 \cdot 9}{8+27} = \frac{27}{35} = 0.77 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \frac{\partial u}{\partial x} (1,2,3) = 2; \frac{\partial u}{\partial y} (1,2,3) = 1.34; \frac{\partial u}{\partial z} (1,2,3) = 0.77 $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ