Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Частная производная функции в точке

Как найти значение?

Постановка задачи

Найти значение частной производной функции $ u(x,y,z) $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $

План решения

Частная производная в точке обозначается и вычисляется по формуле:

$$ \frac{\partial u}{\partial x} \bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)} = \frac{\partial u}{\partial x} (x_0,y_0,z_0) $$

$$ \frac{\partial u}{\partial y} \bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)} = \frac{\partial u}{\partial y} (x_0,y_0,z_0) $$

$$ \frac{\partial u}{\partial z} \bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)} = \frac{\partial u}{\partial z} (x_0,y_0,z_0) $$

  1. Находим частные производные, к примеру первого порядка:
    $$ \frac{\partial u}{\partial x}; \frac{\partial u}{\partial y}; \frac{\partial u}{\partial z} $$
  2. Подставляем координаты $ x_0,y_0,z_0 $ точки $ M $ в полученные частные производные вместо $ x,y,z $:
    $$ \frac{\partial u}{\partial x} (x_0,y_0,z_0); \frac{\partial u}{\partial y} (x_0,y_0,z_0); \frac{\partial u}{\partial z} (x_0,y_0,z_0) $$
  3. Вычисляем выражения и записываем ответ

Примеры решений 

Пример 1
Найти частную производную $ u = xy + \ln(y^3+z^3) $ в точке $ M(1,2,3) $
Решение

Берем частные производные первого порядка:

$$ \frac{\partial u}{\partial x} = y $$

$$ \frac{\partial u}{\partial y} = x + \frac{3y^2}{y^3+z^3} $$

$$ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{3z^2}{y^3+z^3} $$

Подставляем координаты точки $ M $ вместо $ x,y,z $ в полученные выражения и находим значения частных производных в точке:

$$ \frac{\partial u}{\partial x} (1,2,3) = 2 $$

$$ \frac{\partial u}{\partial y} (1,2,3) = 1 + \frac{3 \cdot 4}{8+27} = 1 + \frac{12}{35} = 1.34 $$

$$ \frac{\partial u}{\partial z} (1,2,3) = \frac{3 \cdot 9}{8+27} = \frac{27}{35} = 0.77 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \frac{\partial u}{\partial x} (1,2,3) = 2; \frac{\partial u}{\partial y} (1,2,3) = 1.34; \frac{\partial u}{\partial z} (1,2,3) = 0.77 $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ