Полный дифференциал функции
Пусть дана функция $ z = f(x,y) $. Формула полного дифференциала функции записывается следующим образом:
$$ dz = f'_x (x,y) dx + f'_y (x,y) dy $$
- Находим первые частные производные функции $ z = f(x,y) $
- Подставляя полученные производные $ f'_x $ и $ f'_y $ в формулу, записываем ответ
| Пример 1 |
| Найти полный дифференциал функции двух переменных $ z = 2x + 3y $ |
| Решение |
|
Находим частные производные первого порядка: $$ f'_x = 2 $$ $$ f'_y = 3 $$ Подставляем полученные выражения в формулу полного дифференциала и записываем ответ: $$ dz = 2dx + 3dy $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ dz = 2dx + 3dy $$ |
| Пример 2 |
| Найти полный дифференциал функции нескольких переменных $ u = xyz $ |
| Решение |
|
Так как функция состоит из трёх переменных, то в формуле полного дифференциала функции необходимо это учесть и добавить третье слагаемое $ f'_z dz $: $$ du = f'_x dx + f'_y dy + f'_z dz $$ Аналогично как и в случае функции двух переменных находим частные производные первого порядка: $$ u'_x = yz $$ $$ u'_y = xz $$ $$ u'_z = xy $$ Используя формулу записываем ответ: $$ du = yzdx + xzdy + xydz $$ |
| Ответ |
| $$ du = yzdx + xzdy + xydz $$ |
| Пример 3 |
| Найти значение полного дифференциала функции $ z = x^3+y^4 $, при $ x = 1 $, $ y = 2 $, $ dx = 0.03 $ и $ dy = -0.01 $ |
| Решение |
|
Берем частные производные первого порядка: $$ z'_x = 3x^2 $$ $$ z'_y = 4y^3 $$ Воспользовавшись формулой составляем полный дифференциал: $$ dz = 3x^2 dx + 4y^3 dy $$ Из условия задачи известны все переменные для вычисления значения дифференциала. Подставив их и вычислим значение: $$ dz = 3\cdot 1^2 \cdot 0.03 + 4 \cdot 2^3 \cdot (-0.01) = 0.09 - 0.32 = -0.23 $$ |
| Ответ |
| $$ dz = -0.23 $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ