Экстремум функции двух переменных
Пусть дана функция $ z = z(x,y) $. Экстремумы функции двух переменных возможны в стационарных точках функции. Стационарными точками называются точки $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2)... $, в которых первые частные производные функции равны нулю: $ z(x,y) = 0 $
Для нахождения стационарных точек (подозрительных на экстремум) составляем систему:
$$ \begin{cases} z'_x = 0 \\ z'_y = 0 \end{cases} $$
Решая систему получаем точки $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2)... $, каждую из которых нужно проверить на экстремум.
Проверку осуществляется с помощью подстановки точек в выражение, называемое достаточным условием существования экстремума:
$$ A = z''_{xx} \cdot z''_{yy} - (z''_{xy})^2 $$
Если в точке $ M(x_1,y_1) $:
- $ A>0 $ и $ z''_{xx} > 0 $, то $ M(x_1,y_1) $ точка минимума
- $ A >0 $ и $ z''_{xx} < 0 $, то $ M(x_1,y_1) $ точка максимума
- $ A < 0 $, то $ M(x_1,y_1) $ не является точкой экстремума
- $ A = 0 $, то требуется дополнительное исследование (по определению)
Итак, необходимо выполнить действия:
- Найти частные производные первого порядка. Приравнять их к нулю и решить систему уравнений. Получить точки $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2),... $
- Найти частные производные второго порядка в точках $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2),... $
- Используя достаточное условие существования экстремума делаем вывод о наличии экстремума в точках $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2),... $
| Пример 1 |
| Найти экстремумы функции двух переменных $ z = x^2 -xy +y^2 $ |
| Решение |
|
Находим частные производные первого порядка: $$ z'_x = 2x - y $$ $$ z'_y = -x + 2y $$ Приравниваем полученные выражения к нулю и решаем систему двух уравнений: $$ \begin{cases} 2x-y = 0 \\ -x + 2y = 0 \end{cases} $$ Решив систему получаем стационарную точку (подозрительные на экстремум): $$ M (0,0) $$ Далее вычисляем значения частных производных второго порядка в точке $ M $: $$ z''_{xx} \Big |_M = 2 $$ $$ z''_{yy} \Big |_M= 2 $$ $$ z''_{xy} \Big |_M = -1 $$ Подставляя найденные значения в достаточное условие экстремума функции, проводим исследование знаков: $$ A = \Big |_M = z''_{xx} \Big |_M \cdot z''_{yy} \Big |_M - (z''_{xy} \Big |_M)^2 = 2 \cdot 2 - (-1)^2 = 3 $$ Так как получили $ A > 0 $ и $ z''_{xx} > 0 $, то получается $ M(0,0) $ точка минимума. Наименьшее значение находится в минимуме и равно: $$ z_{\min} (0,0) = 0^2 - 0 \cdot 0 + 0^2 = 0 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| В точке $ M(0,0) $ находится минимум функции; $ z_{\min} = 0 $ |
| Пример 2 |
| Найти экстремумы функции двух переменных $ z = x^3 + y^3 - 15xy $ |
| Решение |
|
Составляем систему уравнений из частных производных первого порядка: $$ \begin{cases} z'_x = 3x^2 - 15y = 0 \\ z'_y = 3y^2 - 15x =0 \end{cases} $$ Получаем стационарные точки $ M_1(0,0) $ и $ M_2(5,5) $, которые необходимо проверить через достаточное условие экстремума. Вычисляем значение частных прозводных второго порядка в точке $ M_1 $: $$ z''_{xx} \Big |_{M_1} = 6x \Big |_{M_1} = 0 $$ $$ z''_{yy} \Big |_{M_1} = 6y \Big |_{M_2} = 6y \Big |_{M_2} = 0 $$ $$ z''_{xy} \Big |_{M_1} = -15 $$ Подставляем данные значения в формулу достаточного условия экстремума: $$ A \Big |_{M_1} = 0 \cdot 0 - (-15)^2 = -225 $$ Так как $ A < 0 $, то в точке $ M_1(0,0) $ экстремума нет. Получаем значения частных производных 2 порядка в $ M_2 $: $$ z''_{xx} \Big |_{M_2} = 6x \Big |_{M_2} = 6 \cdot 5 = 30 $$ $$ z''_{yy} \Big |_{M_2} = 6y \Big |_{M_2} = 6 \cdot 5 = 30 $$ $$ z''_{xy} \Big |_{M_2} = -15 $$ Вычисляем значение выражения достаточного условия экстремума: $$ A = 30 \cdot 30 - (-15)^2 = 900 - 225 = 675 $$ Получили $ A > 0 $ и $ z''_{xx} > 0 $, то значит, $ M_2(5,5) $ точка минимума. Наименьшее значение функции $ z = x^3 + y^3 - 15xy $ равно: $$ z_{\min} |_{M_2} = 5^3 + 5^3 - 15 \cdot 5 \cdot 5 = 125 + 125 - 375 = -125 $$ |
| Ответ |
| В $ M_1 (0,0) $ экстремума нет, в $ M_2(5,5) $ минимум функции $ z_{\min}=-125 $ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ