Производная функции
Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.
Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования:
- Вынос константы за знак производной: $$ (Cu)' = C(u)' $$
- Производная суммы/разности функций: $$ (u \pm v)' = (u)' \pm (v)' $$
- Производная произведения двух функций: $$ (u \cdot v)' = u'v + uv' $$
- Производная дроби: $$ \bigg (\frac{u}{v} \bigg )' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$
- Производная сложной функции: $$ ( f(g(x)) )' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
| Пример 1 |
| Найти производную функции $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $ |
| Решение |
|
Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных: $$ y' = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)' = (x^3)' - (2x^2)' + (7x)' - (1)' = $$ Используя правило производной степенной функции $ (x^p)' = px^{p-1} $ имеем: $$ y' = 3x^{3-1} - 2 \cdot 2 x^{2-1} + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Так же было учтено, что производная от константы равна нулю. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y' = 3x^2 - 4x + 7 $$ |
| Пример 2 |
| Найдите производную функции $ y = \sin x - \ln 3x $ |
| Решение |
|
По правилу производной разности: $$ y' = (\sin x - \ln 3x)' = (\sin x)' - (\ln 3x)' = $$ По таблице интегрирования находим: $$ (\sin x)' = \cos x $$ $$ (\ln x)' = \frac{1}{x} $$ С учетом того, что аргумент натурального логарифма отличен от $ x $, то нужно домножить ещё на производную самого аргумента: $$ y' = (\sin x)' - (\ln 3x)' = \cos x - \frac{1}{3x} \cdot (3x)' = $$ После упрощения получаем: $$ = \cos x - \frac{1}{3x} \cdot 3 = \cos x - \frac{1}{x} $$ |
| Ответ |
| $$ y' = \cos x - \frac{1}{x} $$ |
| Пример 3 |
| Найти производную от функции $ y = (3x-1) \cdot 5^x $ |
| Решение |
|
В данном примере стоит произведение двух функций, а производная произведения находится по формуле номер 3: $$ (u \cdot v)' = u'v + uv' $$ $$ y' = ( (3x-1) \cdot 5^x )' = (3x-1)' 5^x + (3x-1) (5^x)' = $$ Производная первой функции вычисляется как разность фунций: $$ (3x-1)' = (3x)' - (1)' = 3(x)' - (1)' = 3 $$ Вторая функция является показательной, производная которой находится по формуле: $ (a^x)' = a^x \ln a $: $$ (5^x)' = 5^x \ln 5 $$ Продолжаем решение с учетом найденных производных: $$ y' = (3x-1)' 5^x + (3x-1) (5^x)' = 3 \cdot 5^x + (3x-1) 5^x \ln 5 $$ |
| Ответ |
| $$ y' = 3\cdot 5^x + (3x-1) 5^x \ln 5 $$ |
| Пример 4 |
| Найти производную $ y = \frac{\ln x}{\sqrt{x}} $ |
| Решение |
|
Производную дроби найдем по четвертой формуле. Положим $ u = \ln x $ и $ v = \sqrt{x} $. Тогда их производные по таблице основных элементарных функций равны: $$ u' = (\ln x)' = \frac{1}{x} $$ $$ v' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ Используя формулу №4 получаем: $$ y' = \bigg ( \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \bigg )' = \frac{ \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x} - \ln x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} }{x} = $$ Выносим множитель $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $ в числителе за скобку: $$ y' = \frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}} $$ |
| Ответ |
| $$ y' = \frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}} $$ |
| Пример 5 |
| Найти производную функции $ y = \ln \sin 3x $ |
| Решение |
|
Данная функция является сложной, потому производную будем брать по цепочке. Сначала от внешней функции, затем от внутренней. При этом выполняя их перемножение. $$ y' = (\ln \sin 3x )' = \frac{1}{\sin 3x} \cdot (\sin 3x)' = $$ Заметим, что аргумент синуса отличен от $ x $, поэтому тоже является сложной функцией: $$ = \frac{1}{\sin 3x} \cdot \cos 3x \cdot (3x)' = \frac{1}{\sin 3x} \cdot \cos 3x \cdot 3 $$ Учитывая определение котангенса $ ctg x = \frac{\cos 3x}{\sin 3x} $ перепишем полученную производную в удобном компактном виде: $$ y' = 3ctg 3x $$ |
| Ответ |
| $$ y' = 3ctg 3x $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ