Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Производная дроби

Производная дроби равна произведению производной числителя на знаменатель минус произведение числителя на производную знаменателя и всё делить на квадрат знаменателя:

$$ \bigg (\frac{u}{v} \bigg )' = \frac{u'v-uv'}{v^2} $$

Следует понимать, что производная дроби НЕ РАВНА отношению производных числителя и знаменателя!

Примеры с решением

Пример 1
Найти производную дроби $ y = \frac{x}{\ln x} $
Решение

Из формулы следует, что числитель $$ u = x $$ а знаменатель $$ v = \ln x $$ Находим их производные: $$ u' = (x)' = 1 $$ $$ v' = (\ln x)' = \frac{1}{x} $$

Подставляем найденные $ u' $ и $ v' $ в формулу производной дроби:

$$ y'=\bigg (\frac{x}{\ln x} \bigg )' = \frac{(x)'\ln x - x(\ln x)'}{(\ln x)^2} = $$

$$ = \frac{\ln x - x \frac{1}{x}}{\ln^2 x} = \frac{\ln x - 1}{\ln^2 x} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y' = \frac{\ln x - 1}{\ln^2 x} $$
Пример 2
Найти производную от дроби $ y = \frac{\cos x}{x} $
Решение

По формуле производной частного:

$$ y'=\bigg (\frac{\cos x}{x} \bigg ) = \frac{(\cos x)'x-\cos x (x)'}{(x)^2} = $$

Производная косинуса равна отрицательному синусу: $$ (\cos x)' = -\sin x $$

Тогда:

$$ y' = \frac{-x\sin x - \cos x}{x^2} = -\frac{x\sin x + \cos x}{x^2} $$

Ответ
$$ y' = -\frac{x\sin x + \cos x}{x^2} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ