Производная дроби
Производная дроби равна произведению производной числителя на знаменатель минус произведение числителя на производную знаменателя и всё делить на квадрат знаменателя:
$$ \bigg (\frac{u}{v} \bigg )' = \frac{u'v-uv'}{v^2} $$
Следует понимать, что производная дроби НЕ РАВНА отношению производных числителя и знаменателя!
Примеры с решением
| Пример 1 |
| Найти производную дроби $ y = \frac{x}{\ln x} $ |
| Решение |
|
Из формулы следует, что числитель $$ u = x $$ а знаменатель $$ v = \ln x $$ Находим их производные: $$ u' = (x)' = 1 $$ $$ v' = (\ln x)' = \frac{1}{x} $$ Подставляем найденные $ u' $ и $ v' $ в формулу производной дроби: $$ y'=\bigg (\frac{x}{\ln x} \bigg )' = \frac{(x)'\ln x - x(\ln x)'}{(\ln x)^2} = $$ $$ = \frac{\ln x - x \frac{1}{x}}{\ln^2 x} = \frac{\ln x - 1}{\ln^2 x} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y' = \frac{\ln x - 1}{\ln^2 x} $$ |
| Пример 2 |
| Найти производную от дроби $ y = \frac{\cos x}{x} $ |
| Решение |
|
По формуле производной частного: $$ y'=\bigg (\frac{\cos x}{x} \bigg ) = \frac{(\cos x)'x-\cos x (x)'}{(x)^2} = $$ Производная косинуса равна отрицательному синусу: $$ (\cos x)' = -\sin x $$ Тогда: $$ y' = \frac{-x\sin x - \cos x}{x^2} = -\frac{x\sin x + \cos x}{x^2} $$ |
| Ответ |
| $$ y' = -\frac{x\sin x + \cos x}{x^2} $$ |