Производная сложной функции
Формула
Пусть есть функция $ y=f(g(x)) $, тогда производную сложной функции можно найти по формуле:
$$ y'=f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Проще говоря, нахождение производной сложной функции выполняется "по цепочке". Сначала находим производную от внешней функции без изменения её аргумента и умножаем на производную аргумента. Если аргумент в свою очередь тоже является сложной функцией, то снова берем производную ещё и от него.
Рассмотрим на практике примеры решений производных сложных функций.
Примеры решений
| Пример 1 | |
| Найти производную сложной функции: $ y = \sqrt{x^2+1} $ | |
| Решение | |
|
Пользуемся формулой нахождения производной сложной функции. Сначала находим производную внешней функции без учета внутренней функции, а затем и производную от самой внутренней функции: $$ y'=( \sqrt{x^2+1} )'= $$ $$ =\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)'= $$ $$ =\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{x}{2\sqrt{x^2+1}} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
|
| Ответ | |
| $$ y'=\frac{x}{2\sqrt{x^2+1}} $$ |
| Пример 2 | |
| Найти производную сложной функции: $ y = e^{4x+3} $ | |
| Решение | |
|
Видим экспоненту в задаче, поэтому берем значение производной для неё из таблицы, а затем вычисляем производную от аргумента: $$ y'=(e^{4x+3})' = e^{4x+3} \cdot (4x+3)' = $$ $$ = e^{4x+3} \cdot 4 = 4e^{4x+3} $$ |
|
| Ответ | |
| $$ y' = 4e^{4x+3} $$ |
| Пример 3 |
| Найти производную сложной функции: $ y = \arctan x^2 $ |
| Решение |
|
Зная значение производной арктангенса из таблицы, находим производную сложной функции: $$ y' = (\arctan x^2)' = \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot (x^2)' = $$ $$ = \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1+x^4} $$ |
| Ответ |
| $$ y' = \frac{2x}{1+x^4} $$ |
| Пример 4 |
| Найти производную сложной функции: $ y = \ln(x^3+2) $ |
| Решение |
|
Перед нами сложная функция, точнее натуральный логарифм от многочлена. Поэтому применим правило. Имеем: $$ y' = (\ln(x^3+2))' = \frac{1}{x^3+2} \cdot (x^3+2)' = $$ $$ = \frac{1}{x^3+2} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{x^3+2} $$ |
| Ответ |
| $$ y' = \frac{3x^2}{x^3+2} $$ |
| Пример 5 |
| Найти производную от сложной функции: $ y = \ln(\sin^3x+ e^{\cos x}) $ |
| Решение |
|
Сложную функцию представляет натуральный логарифм, аргументом которого является сумма двух функций, обе тоже сложные функции. Вспоминаем формулу и приступаем: $$ y' = ( \ln(\sin^3x+e^{\cos x}) )' = $$ $$ =\frac{1}{\sin^3x+e^{\cos x}} \cdot (\sin^3x+e^{\cos x})' = $$ Производная суммы функций равна сумме производных этих функций: $$ =\frac{1}{\sin^3x+e^{\cos x}} \cdot ( (\sin^3x)'+(e^{\cos x})') = $$ Первая функция $ (\sin^3x)' $ - это производная от сложной функции: $$ (\sin^3x)' = 3\sin^2x \cdot (\sin x)' = 3\sin^2x \cos x $$ Вторая функция $ (e^{\cos x})' $ - это производная сложной функции: $$ (e^{\cos x})' = e^{\cos x} \cdot (\cos x)' = e^{\cos x} \cdot (-\sin x) $$ Продолжаем нахождение производной исходной функции: $$ = \frac{1}{\sin^3x+e^{\cos x}} \cdot (3\sin^2x \cos x - e^{\cos x} \sin x) $$ |
| Ответ |
|
$$ y' = \frac{3\sin^2x \cos x - e^{\cos x} \sin x}{\sin^3x+e^{\cos x}} $$ |