Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Производная сложной функции

Формула

Пусть есть функция $ y=f(g(x)) $, тогда производную сложной функции можно найти по формуле:

$$ y'=f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

Проще говоря, нахождение производной сложной функции выполняется "по цепочке". Сначала находим производную от внешней функции без изменения её аргумента и умножаем на производную аргумента. Если аргумент в свою очередь тоже является сложной функцией, то снова берем производную ещё и от него.

Рассмотрим на практике примеры решений производных сложных функций.

Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание

Примеры решений

Пример 1
Найти производную сложной функции: $ y = \sqrt{x^2+1} $
Решение

Пользуемся формулой нахождения производной сложной функции. Сначала находим производную внешней функции без учета внутренней функции, а затем и производную от самой внутренней функции: 

$$ y'=( \sqrt{x^2+1} )'= $$

$$ =\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)'= $$

$$ =\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{x}{2\sqrt{x^2+1}} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y'=\frac{x}{2\sqrt{x^2+1}} $$
Пример 2
Найти производную сложной функции: $ y = e^{4x+3} $
Решение

Видим экспоненту в задаче, поэтому берем значение производной для неё из таблицы, а затем вычисляем производную от аргумента:

$$ y'=(e^{4x+3})' = e^{4x+3} \cdot (4x+3)' = $$

$$ = e^{4x+3} \cdot 4 = 4e^{4x+3} $$

Ответ
$$ y' = 4e^{4x+3} $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 3
Найти производную сложной функции: $ y = \arctan x^2 $
Решение

Зная значение производной арктангенса из таблицы, находим производную сложной функции:

$$ y' = (\arctan x^2)' = \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot (x^2)' = $$

$$ = \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1+x^4} $$

Ответ
$$ y' = \frac{2x}{1+x^4} $$
Пример 4
Найти производную сложной функции: $ y = \ln(x^3+2) $
Решение

Перед нами сложная функция, точнее натуральный логарифм от многочлена. Поэтому применим правило. Имеем:

$$ y' = (\ln(x^3+2))' = \frac{1}{x^3+2} \cdot (x^3+2)' = $$

$$ = \frac{1}{x^3+2} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{x^3+2} $$

Ответ
$$ y' = \frac{3x^2}{x^3+2} $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 5
Найти производную от сложной функции: $ y = \ln(\sin^3x+ e^{\cos x}) $
Решение

Сложную функцию представляет натуральный логарифм, аргументом которого является сумма двух функций, обе тоже сложные функции. Вспоминаем формулу и приступаем:

$$ y' = ( \ln(\sin^3x+e^{\cos x}) )' = $$

$$ =\frac{1}{\sin^3x+e^{\cos x}} \cdot (\sin^3x+e^{\cos x})' = $$

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций:

$$ =\frac{1}{\sin^3x+e^{\cos x}} \cdot ( (\sin^3x)'+(e^{\cos x})') = $$

Первая функция $ (\sin^3x)' $ - это производная от сложной функции:

$$ (\sin^3x)' = 3\sin^2x \cdot (\sin x)' = 3\sin^2x \cos x $$

Вторая функция $ (e^{\cos x})' $ - это производная сложной функции:

$$ (e^{\cos x})' = e^{\cos x} \cdot (\cos x)' = e^{\cos x} \cdot (-\sin x) $$

Продолжаем нахождение производной исходной функции:

$$ = \frac{1}{\sin^3x+e^{\cos x}} \cdot (3\sin^2x \cos x - e^{\cos x} \sin x) $$

Ответ

$$ y' = \frac{3\sin^2x \cos x - e^{\cos x} \sin x}{\sin^3x+e^{\cos x}} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ