Производная сложной функции: примеры решений
Достаточно часто студентам в контрольных работах по математике нужна производная сложной функции, примеры решений которой будут рассмотрены на практике в данном материале. Но сначала краткая теория.
Формула
Пусть есть функция , тогда производную сложной функции можно найти по формуле:
Проще говоря, нахождение производной сложной функции выполняется "по цепочке". Сначала находим производную от внешней функции без изменения её аргумента и умножаем на производную аргумента. Если аргумент в свою очередь тоже является сложной функцией, то снова берем производную ещё и от него.
Рассмотрим на практике примеры решений производных сложных функций.
Примеры решений
| Пример 1 | |
| Найти производную сложной функции: | |
| Решение | |
|
Пользуемся формулой нахождения производной сложной функции. Сначала находим производную внешней функции без учета внутренней функции, а затем и производную от самой внутренней функции: |
|
| Ответ | |
| Пример 2 | |
| Найти производную сложной функции: | |
| Решение | |
|
Видим экспоненту в задаче, поэтому берем значение производной для неё из таблицы, а затем вычисляем производную от аргумента: |
|
| Ответ | |
| Пример 3 |
| Найти производную сложной функции: |
| Решение |
|
Зная значение производной арктангенса из таблицы, находим производную сложной функции: |
| Ответ |
| Пример 4 |
| Найти производную сложной функции: |
| Решение |
|
Перед нами сложная функция, точнее натуральный логарифм от многочлена. Поэтому применим правило. Имеем: |
| Ответ |
| Пример 5 |
| Найти производную от сложной функции: |
| Решение |
|
Сложную функцию представляет натуральный логарифм, аргументом которого является сумма двух функций, обе тоже сложные функции. Вспоминаем формулу и приступаем: Производная суммы функций равна сумме производных этих функций: Первая функция - это производная от сложной функции: Вторая функция - это производная сложной функции: Продолжаем нахождение производной исходной функции: |
| Ответ |
В статье: «Производная сложной функции: примеры решений» была приведена формула и её словесное толкование. Также разобрано решение задач по данной теме.