Механический смысл производной
Пусть задана материальная точка на плоскости. Закон её движения в доль координатной оси описывается по закону $ x(t) $, где $ t $ задаёт время. Тогда за время от $ t_0 $ до $ t_0 + \Delta t $ точка проходит путь $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $. Получается, что средняя скорость такой точки находится по формуле: $$ v_{cp} = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$
Если устремить $ \Delta t $ к нулю, то значение средней скорости будет стремиться к величине называемой мгновенной скоростью в точке $ t_0 $:
$$ \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = v(t_0) $$
По определению производной через предел получаем связь между скоростью и законом движения пути материальной точки:
$$ v(t_0) = \lim_{\Delta \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = x'(t_0) $$
| Определение |
| Механический смысл производной заключается в том, что скорость материальной точки равна производной закона пути движения этой точки: $$ x'(t) = v(t) $$ |
Примеры решений
| Пример 1 |
| Вычислить мгновенную скорость материальной точки в момент времени $ t_0 = 1 $, двигающейся по закону $ x(t) = t^2+3t-1 $ |
| Решение |
|
По определению механического смысла производной получим закон скорости материальной точки: $$ v(t) = x'(t) = (t^2+3t-1)' = 2t + 3 $$ Зная момент времени $ t_0 = 1 $ из условия задачи, находим скорость в этот момент времени: $$ v(t_0) = 2\cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5 $$ Получили, что мгновенная скорость точки в момент $ t_0 = 1 $ равна $ v = 5 $ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ v(t_0) = 5 $$ |
| Пример 2 |
| Движение материальной точки задано законом $ x(t)=t^2-t+3 $. Найти в какой момент времени $ t_0 $ скорость этой точки будет нулевой. |
| Решение |
|
Так как скорость это производная закона пути движения: $$ v(t) = x'(t) = (t^2 - t + 3)' = (t^2)' - (t)' + (3)' = 2t-1 $$ Чтобы найти в какой момент времени $ t_0 $ скорость будет равна нулю составим уравнение $ v(t_0) = 0 $ и решим его относительно $ t_0 $: $$ 2t_0 - 1 = 0 $$ $$ 2t_0 = 1 $$ $$ t_0 = \frac{1}{2} $$ Итак, в момент времени $ t_0 = \frac{1}{2} $ скорость движения материальной точки будет нулевой. |
| Ответ |
| $$ t_0 = \frac{1}{2} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ