Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Механический смысл производной

Пусть задана материальная точка на плоскости. Закон её движения в доль координатной оси описывается по закону $ x(t) $, где $ t $ задаёт время. Тогда за время от $ t_0 $ до $ t_0 + \Delta t $ точка проходит путь $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $. Получается, что средняя скорость такой точки находится по формуле: $$ v_{cp} = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$

Если устремить $ \Delta t $ к нулю, то значение средней скорости будет стремиться к величине называемой мгновенной скоростью в точке $ t_0 $:

$$ \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = v(t_0) $$

По определению производной через предел получаем связь между скоростью и законом движения пути материальной точки:

$$ v(t_0) = \lim_{\Delta \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = x'(t_0) $$

Определение
Механический смысл производной заключается в том, что скорость материальной точки равна производной закона пути движения этой точки: $$ x'(t) = v(t) $$

Примеры решений

Пример 1
Вычислить мгновенную скорость материальной точки в момент времени $ t_0 = 1 $, двигающейся по закону $ x(t) = t^2+3t-1 $
Решение

По определению механического смысла производной получим закон скорости материальной точки:

$$ v(t) = x'(t) = (t^2+3t-1)' = 2t + 3 $$

Зная момент времени $ t_0 = 1 $ из условия задачи, находим скорость в этот момент времени:

$$ v(t_0) = 2\cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5 $$

Получили, что мгновенная скорость точки в момент $ t_0 = 1 $ равна $ v = 5 $

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ v(t_0) = 5 $$
Пример 2
Движение материальной точки задано законом $ x(t)=t^2-t+3 $. Найти в какой момент времени $ t_0 $ скорость этой точки будет нулевой.
Решение

Так как скорость это производная закона пути движения:

$$ v(t) = x'(t) = (t^2 - t + 3)' = (t^2)' - (t)' + (3)' = 2t-1 $$

Чтобы найти в какой момент времени $ t_0 $ скорость будет равна нулю составим уравнение $ v(t_0) = 0 $ и решим его относительно $ t_0 $:

$$ 2t_0 - 1 = 0 $$ $$ 2t_0 = 1 $$ $$ t_0 = \frac{1}{2} $$

Итак, в момент времени $ t_0 = \frac{1}{2} $ скорость движения материальной точки будет нулевой.

Ответ
$$ t_0 = \frac{1}{2} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ