Уравнение касательной и нормали к кривой
Формула
Уравнение касательной к кривой $ y=f(x) $ в точке $ M(x_0,y_0) $ имеет вид:
$$ y - y(x_0) = y'(x_0) (x - x_0) $$
Уравнение нормали к кривой $ y $ в точке $ M(x_0,y_0) $ имеет вид:
$$ y - y(x_0) = -\frac{1}{y'(x_0)} (x - x_0) $$
Нормаль к кривой - это перпендикуляр к касательной, проведенный через точку касания.
Примеры решений
Пример 1 |
Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке $ M(1;-1) $: $$ x^2 + 2xy^2 + 3y^4 = 6 $$ |
Решение |
Найдем производную, дифференцируя функцию $ y(x) $ по переменной $ x $: $$ (x^2)'_x+ (2xy^2)'_x + (3y^4)'_x = (6)'_x $$ Учитывая, что $ y^2 $ и $ y^4 $ сложные функции продолжаем: $$ 2x + 2y^2 + 4xyy' + 12y^3 y' = 0 $$ Выражаем $ y' $ из полученного уравнения: $$ 4xyy' + 12y^3 y' = -2x - 2y^2 $$ Выносим $ y' $ за скобки: $$ y'(4xy + 12y^3) = -2x - 2y^2 $$ Делим обе части уравнения на выражение $ 4xy+12y^3 $: $$ y' = -\frac{2x+2y^2}{4xy + 12y^3} = -\frac{x+y^2}{2xy+6y^3} $$ Теперь вычисляем значение $ y' $: $$ y' = -\frac{1 + (-1)^2}{2\cdot 1 \cdot (-1) + 6\cdot (-1)^3} = -\frac{2}{-8} = \frac{1}{4} $$ Зная, что $ y' = \frac{1}{4} $ и $ y(x_0) = y(1) = -1 $ составляем уравнения касательной и нормали к кривой в точке $ M(1;-1) $. Получаем уравнение касательной: $$ y - (-1) = \frac{1}{4} (x - 1) $$ Записываем в красивой форме: $$ y = \frac{1}{4} x - \frac{3}{4} $$ Получаем уравнение нормали: $$ y - (-1) = -\frac{1}{\frac{1}{4}} (x - 1) $$ Раскрываем скобки и записываем в красивой форме, полученное уравнение: $$ y+1 = -4(x-1) $$ $$ y = -4x + 3 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
Уравнение касательной: $ y = \frac{1}{4}x - \frac{3}{4} $ Уравнение нормали: $ y = -4x +3 $ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ