Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Уравнение касательной и нормали к кривой

Формула

Уравнение касательной к кривой $ y=f(x) $ в точке $ M(x_0,y_0) $ имеет вид:

$$ y - y(x_0) = y'(x_0) (x - x_0) $$

Уравнение нормали к кривой $ y $ в точке $ M(x_0,y_0) $ имеет вид:

$$ y - y(x_0) = -\frac{1}{y'(x_0)} (x - x_0) $$

Нормаль к кривой - это перпендикуляр к касательной, проведенный через точку касания.

Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание

Примеры решений

Пример 1

Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке $ M(1;-1) $:

$$ x^2 + 2xy^2 + 3y^4 = 6 $$

Решение

Найдем производную, дифференцируя функцию $ y(x) $ по переменной $ x $:

$$ (x^2)'_x+ (2xy^2)'_x + (3y^4)'_x = (6)'_x $$

Учитывая, что $ y^2 $ и $ y^4 $ сложные функции продолжаем:

$$ 2x + 2y^2 + 4xyy' + 12y^3 y' = 0 $$

Выражаем $ y' $ из полученного уравнения:

$$ 4xyy' + 12y^3 y' = -2x - 2y^2 $$

Выносим $ y' $ за скобки:

$$ y'(4xy + 12y^3) = -2x - 2y^2 $$

Делим обе части уравнения на выражение $ 4xy+12y^3 $:

$$ y' = -\frac{2x+2y^2}{4xy + 12y^3} = -\frac{x+y^2}{2xy+6y^3} $$

Теперь вычисляем значение $ y' $:

$$ y' = -\frac{1 + (-1)^2}{2\cdot 1 \cdot (-1) + 6\cdot (-1)^3} = -\frac{2}{-8} = \frac{1}{4} $$

Зная, что $ y' = \frac{1}{4} $ и $ y(x_0) = y(1) = -1 $ составляем уравнения касательной и нормали к кривой в точке $ M(1;-1) $.

Получаем уравнение касательной:

$$ y - (-1) = \frac{1}{4} (x - 1) $$

Записываем в красивой форме:

$$ y = \frac{1}{4} x - \frac{3}{4} $$

Получаем уравнение нормали:

$$ y - (-1) = -\frac{1}{\frac{1}{4}} (x - 1) $$

Раскрываем скобки и записываем в красивой форме, полученное уравнение:

$$ y+1 = -4(x-1) $$

$$ y = -4x + 3 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

Уравнение касательной: $ y = \frac{1}{4}x - \frac{3}{4} $

Уравнение нормали: $ y = -4x +3 $

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ