Правила дифференцирования
В основные правила дифференцирования функций входят вынесение констант за знак производной, сумма и разность, умножение и деление функций:
- Константу можно вынести за знак производной: $$ (C f(x) )' = C( f(x))' $$
- Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных: $$ ( f(x) \pm g(x))' = ( f(x))' \pm (g(x))' $$
- Дифференцирование произведения двух функций выполняется по формуле: $$ ( f(x) \cdot g(x))' = ( f(x))' \cdot g(x) + f(x) \cdot (g(x))' $$
- Дифференцирование частного двух функций выполняется по формуле: $$ \bigg (\frac{f(x)}{g(x)} \bigg )' = \frac{( f(x))' \cdot g(x) - f(x) \cdot (g(x))'}{(g(x))^2} $$
Используя основные правила дифференцирования можно находить большинство производных функций.
| Пример 1 |
| С помощью основных правил дифференцирования найти производную: $$ y = 3\sin x $$ |
| Решение |
|
Берем производную: $$ y' = (3\sin x)' = $$ Так как присутствует константа, то по первому правилу дифференцирования можно вынести её за знак производной, а затем по таблице $ (\sin x)' = \cos x $: $$ y' = (3\sin x)' = 3 (\sin x)' = 3 \cos x $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y' = 3\cos x $$ |
| Пример 2 |
| Найти производную суммы функций $ y = x^5 + \cos x $ |
| Решение |
|
По второму правилу дифференцирования производная суммы функций равна сумме производных: $$ y' = (x^5 + \cos x )' = (x^5)' + (\cos x)' = $$ Первое слагаемое дифференцируем по правилу степенной функции $ (x^p)' = px^{p-1} $: $$ (x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4 $$ Производная косинуса равна: $$ (\cos x)' = -\sin x $$ Объединяем в сумму: $$ y' = (x^5 + \cos x)' = (x^5)' + (\cos x)' = 5x^4 - \sin x $$ |
| Ответ |
| $$ y' = 5x^4 - \sin x $$ |
| Пример 3 |
| Найти производную произведения функций: $ y = x\ln x $ |
| Решение |
|
По третьему правилу дифференцирования произведения двух функций расписываем: $$ y' = (x\ln x)' = (x)' \ln x + x (\ln x)' = $$ $$ = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 $$ |
| Ответ |
| $$ y' = \ln x + 1 $$ |
| Пример 4 |
| Найти производную дроби $ y = \frac{\sin x}{x} $ |
| Решение |
|
Используя четвертое правило дифференцирования частного двух функций получаем: $$ y' = \bigg (\frac{\sin x}{x} \bigg )' = \frac{(\sin x)'x - \sin x (x)'}{x^2} = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2} $$ |
| Ответ |
| $$ y' = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ