Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Правила дифференцирования

В основные правила дифференцирования функций входят вынесение констант за знак производной, сумма и разность, умножение и деление функций:
 

  1. Константу можно вынести за знак производной: $$ (C f(x) )' = C( f(x))' $$
  2. Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных: $$ ( f(x) \pm g(x))' = ( f(x))' \pm (g(x))' $$
  3. Дифференцирование произведения двух функций выполняется по формуле: $$ ( f(x) \cdot g(x))' = ( f(x))' \cdot g(x) + f(x) \cdot (g(x))' $$
  4. Дифференцирование частного двух функций выполняется по формуле: $$ \bigg (\frac{f(x)}{g(x)} \bigg )' = \frac{( f(x))' \cdot g(x) - f(x) \cdot (g(x))'}{(g(x))^2} $$
     
Пример 1
С помощью основных правил дифференцирования найти производную: $$ y = 3\sin x $$
Решение

Берем производную:

$$ y' = (3\sin x)' = $$

Так как присутствует константа, то по первому правилу дифференцирования можно вынести её за знак производной, а затем по таблице $ (\sin x)' = \cos x $:

$$ y' = (3\sin x)' = 3 (\sin x)' = 3 \cos x $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y' = 3\cos x $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 2
Найти производную суммы функций $ y = x^5 + \cos x $
Решение

По второму правилу дифференцирования производная суммы функций равна сумме производных:

$$ y' = (x^5 + \cos x )' = (x^5)' + (\cos x)' = $$

Первое слагаемое дифференцируем по правилу степенной функции $ (x^p)' = px^{p-1} $:

$$ (x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4 $$

Производная косинуса равна:

$$ (\cos x)' = -\sin x $$

Объединяем в сумму:

$$ y' = (x^5 + \cos x)' = (x^5)' + (\cos x)' = 5x^4 - \sin x $$

Ответ
$$ y' = 5x^4 - \sin x $$
Пример 3
Найти производную произведения функций: $ y = x\ln x $
Решение

По третьему правилу дифференцирования произведения двух функций расписываем:

$$ y' = (x\ln x)' = (x)' \ln x + x (\ln x)' = $$

$$ = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 $$

Ответ
$$ y' = \ln x + 1 $$
Решение задач от 20 руб
подробное написание
Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Пример 4
Найти производную дроби $ y = \frac{\sin x}{x} $
Решение

Используя четвертое правило дифференцирования частного двух функций получаем:

$$ y' = \bigg (\frac{\sin x}{x} \bigg )' = \frac{(\sin x)'x - \sin x (x)'}{x^2} = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2} $$

Ответ
$$ y' = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2} $$

Используя основные правила дифференцирования можно находить большинство производных функций.

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ