Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Изучайте, решайте, готовьтесь к контрольным и зачётам.
Получайте квалифицированную помощь экспертов онлайн.

Производная суммы функций

Определение
Производная суммы функций равна сумме производных каждой из функций: $$ (u+v)'=u'+v' $$

В формуле стоит только два слагаемых, но она работает и в случае более двух, например:

$$ (u+v+g)'=u'+v'+g' $$

Примеры решений

Пример 1
Найти производную суммы $ y = x^2+4x+3 $
Решение

Многочлен представляет собой сумму трёх функций. Тогда его производная по правилу производной суммы есть сумма производных от функций:

$$ y' = (x^2+4x+3)' = (x^2)'+(4x)'+(3)' $$

Производная от первого слагаемого находится по правилу степенной функции $ (x^p)'=px^{p-1}:

$$ (x^2)' = 2x $$

Чтобы найти производную второго слагаемого необходимо сначала вынести константу за знак производной по правилу $ (cx)'=c(x)' $. Тогда как производная $ (x)'=1 $:

$$ (4x)'=4(x)'=4 $$

Третье слагаемое представляет собой константу, производная которой всегда равна нулю:

$$ (3)'=0 $$

В итоге записываем решение:

$$ y'=(x^2+4x+3)'=(x^2)'+(4x)'+(3)'=2x+4+0=2x+4 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y'=2x+4 $$
Пример 2
Найти производную функции $ y = x^3+\sin x $
Решение

Находим производные каждого из слагаемых отдельно друг от друга:

$$ y'=(x^3+\sin x)'=(x^3)'+(\sin x)' $$

Первая функция является степенной и её производная отыскивается по правилу $ (x^p)'=px^{p-1} $:

$$ (x^3)'=3x^2 $$

Вторая функция представляет собой синус, производная которого равна $ (\sin x)'=\cos x $:

$$ y'=(x^3+\sin x)' = (x^3)'+(\sin x)'=3x^2 + \cos x $$

Ответ
$$ y'=3x^2+\cos x $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ