Производная произведения

Определение

Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй множитель плюс произведение первого множителя на производную второго множителя:

$$ (uv)'=u'v+uv' $$

Следует отметить, что не в коем случае производная произведения функций НЕ РАВНА произведению производных каждого множителя!

Примеры решений

Пример 1
Найти производную произведения двух функций $ y = x\ln x $
Решение
Находим производные от каждого из множителей. Для множителя $ x $ производная будет равна: $$ (x)'=1 $$ Для второй функции $ \ln x $ производная находится по формуле для логарифма и равна: $$ (\ln x)' = \frac{1}{x} $$ В целом пользуясь формулой производной произведения записыаем ответ: $$ y'=(x\ln x)'=(x)'\ln x + x(\ln x)'=\ln x + x\cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ y'=\ln x + 1 $$

Пример 2
Найти производную функции $ y = x^2e^{3x} $
Решение
Производная первой функции равна: $$ (x^2)'=2x $$ Производная второй функции равна: $$ (e^{3x})'=e^{3x}\cdot (3x)'=e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x} $$ Используя правило получаем: $$ y'=(x^2e^{3x})'=(x^2)'e^{3x}+x^2(e^{3x})'=2xe^{3x}+3x^2e^{3x} $$ Выносим экспоненты за скобки для упрощенной записи ответа: $$ y'=(3x^2+2x)e^{3x} $$
Ответ
$$ y'=(3x^2+2x)e^{3x} $$